精心设计反例，把握问题本质

王国军

摘 要： 反例在知识能力生成的教学中有着重要的作用，它不但可以强化学生对基本知识的理解和掌握，还可以培养学生的建构意识和创造能力。要重视反例的运用，这是让学生进行探究、比较、加深对概念认知理解的有效手段。反例的施教一定要遵循错误转化的原则，根据某些数学知识易致错的特点和学生认识过程中所处的不同状态，把握最佳时机。重视和体验反例构造的过程，不仅能将所学知识进行有效的整合，拓宽思路，活跃思维，而且能提高学生的自学能力、辨别能力和解题速度。

关键词： 反例 批判性思维 高中数学教学

新课程标准对“数学观”的描述是：数学观是世界观的一部分。课程目标提出要使学生“具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的数学思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义世界观”。同时在能力目标中也提到反思建构的培养目标。在教学过程中，反例的建构和运用在促进知识的正确生成，培养学生的批判性思维习惯和反思建构的数学能力方面具有不可替代的教育价值。

“数学中的反例通常指的是符合某个命题的条件，但又与命题结论矛盾的例子。反例和论证是数学证明中的两种重要的方法。论证是用已知为真的判断确定另一个判断的真实性，而反例则是用已知为真的事实去揭露这一判断的虚假性”。二者都在努力揭示事物的本质和内在联系，在数学理解中相互依存，相互作用。反例往往是对命题结论或命题证明进行批判的结果。本文拟从反例在高中数学教学中的意义、反例的构造方法、反例的教学价值、反例的教育时机等角度结合教学实践展开论述。

1.反例在高中数学教学中的意义

曾有人对著名的哥德巴赫猜想用电子计算机验证3.3×10■以内的全部偶数，猜想都是成立的。作这种验证绝对不是为了证明猜想正确，恰恰相反，作这种努力正是为了寻求反例。正如美国数学家盖尔鲍姆所指出的：“数学是由两大类——证明与反例组成，而数学的发展也朝着两个主要的目标——提出证明与构造反例。”

1.1反例对理解和深化概念、形成正确认知有重要意义。

一个正确的认识往往要经过正反两方面的比较和鉴别才能确立，而构造反例是一种从无到有的创造，它对人们的思维素质的锤炼和创造能力的培养有重要帮助。适时构造并使用生动、简明、击中要害的反例是教师教学机智运用的漂亮的一笔，能起到正面强调所无法达到的强化作用，从而使学生对概念的理解更确切、清晰和深刻。反例在否定错误命题，揭示矛盾方面往往比正面的说理来得更加刺激，可以简洁明了地击中学生思维误区的要害，促使其进一步深入思考。

1.2反例能刺激学生的求知欲，引发浓厚的数学兴趣。

兴趣是求知的起点，学生的学习欲望和兴趣，总是在一定的情境中发生的。教学中，为了充分调动学生的学习积极性，对有些问题的条件或结论稍作改变，再交给学生，在新旧的比较和思索中，往往能引起学生的兴趣。再通过教师有效引导和学生积极讨论，许多反例将被指出。学生一旦发现这一反例中的恶性循环，便感到惊奇，产生浓厚的解题的兴趣。像这种易犯而又意识不到的错误，一经提出，就会激发学生强烈的了解“为什么”的愿望和求知欲。

1.3反例能诱发学生的创造力，提升学生的思维素质。

反例的寻找与构造过程是一项积极的、创造性的思维活动，是一个探索与发现的过程。在数学教学中，恰当开发和利用反例，将能有效地提高教学质量。教学过程中通过引导学生寻找反例，一方面可以排除一些错误的认识，走出陷阱，另一方面可以更好地领会数学思维的规律和方法，发展学生敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性、灵活性、批判性、深刻性等良好的数学品质。除此之外，反例在培养学生逆向思维能力中也占有重要地位。教学过程中可以启发学生从一个相反的角度考虑问题，而不仅仅是将思维定势在某个模式，这对于解题方面将起到不可忽视的作用。教师在教学中，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了探索情境。

2.高中数学中反例的构造方法

2.1通过对问题的分类讨论，构造反例。

一个似真实假的命题，往往是由于分类不全或错误的潜在假设而致。对条件恰当地分类，就可以发现不真条件，反例随手可得。例如，过圆锥的顶点所作的一切截面中，以轴截面的面积最大吗？分析：轴截面的顶角小于或等于90°时命题为真，大于90°时，命题不成立。

2.2通过简单运算的叠加或叠乘，构造反例。

在说明许多性质的真伪时，常可用一些简单的事实，通过巧妙的叠加或叠乘来获得反例，特别是在函数性质的教学中，这种方法经常用到。

（1）f（x）为奇函数，g（x）为奇函数，则f（x）+g（x）必为奇函数。

对于这个命题，我们只需寻找两个奇函数，使其和产生新的变化就可以了，于是随手可得反例。如，令f（x）=x，g（x）=-x，其定义域均为R，显然f（x）和g（x）都是奇函数，但f（x）+g（x）=0，却既是奇函数又是偶函数。

（2）增函数之积仍为增函数

2.3在解题的过程中寻找反例。

2.4寻觅“特殊”，构造反例。

特殊与一般属于对偶范畴，它们既相互对立，又相互联系和相互依赖。因此，利用它们之间的联系，可由“特殊”发现“一般”，利用它们之间的对应，又可由“特殊”否定“一般”，寻觅“特殊”——特殊形式或特殊关系，构造反例的主要途径之一。

例如（1）周期函数必有最小正周期？

2.5借助几何“模型”，发现反例。

研究立体几何问题，联想相关的典型例题或基本图形，以它们为几何模型进行探究，是化“虚”为“实”，抽象为具体的基本策略。成“图”在胸，感觉自然充实；模型在握，“虚无”化作“实在”。于是，产生理想的反例便在情理之中了。立体几何中大量关于线面位置关系的似是而非的错误命题基本上都要通过举反例予以澄清。

构造反例具有一定的技巧性，有时也是费力的。它不仅与基础知识的掌握程度有关，还涉及知识面的宽窄等。所以在教学中适时让学生自己构造反例，也是一种很好的锻炼。重视和体验这样的过程，不仅能将所学知识进行有效整合，拓宽思路，活跃思维，提高自学能力，而且能提高分析问题、解决问题的能力。当然，反例的构造方法远不止这些，只要我们在平时的教学中多留意，多从学生的角度考虑问题，大胆鼓励学生以批判的眼光审视数学问题，一定会有许多新的收获。

3.反例在高中数学教学中的价值

3.1利用反例澄清对概念的理解偏差。

反例可以帮助学生深刻理解数学中概念。通常在引入数学概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性，使学生消化吸收。通过列举或构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，让学生严格区分那些相近易混的概念，正确把握概念的本质，从而有效地促进数学概念的生成。

通过以上反例的呈现，可以比较清楚地化解这个难点，使学生感悟到在给定区间上的连续函数与分段函数单调性的差异，从而达到有效促进学生认知的完善和对概念理解的深刻性。

[案例2]过两条异面直线a，b外任意一点P必有直线l与直线a，b都交。

这个命题高三复习时仍然有不少学生误以为真，正面说理又显得很难，这时举出反例最能让学生信服，既发展了空间想象能力，又体现了图形建构的思维要求。反例如下图：

直线c∥a，且c与b相交，则过点P的直线一旦与直线b相交，则必不与a相交。

只要我们站在学生的角度思考，想想学生在概念学习的过程中可能会出现的错误认识，适当的构造反例澄清概念，既可以效地扶正纠偏，给教学平添了生机。

3.2利用反例帮助学生明确定理的使用范围。

3.3利用反例纠正错误命题，发现错误问题的实质。

反例在辨析命题真伪时，具有直观、明显、说服力强等突出的特点，所以利用反例在揭示命题错误时具有特殊的威力。所以正如数学家维奥拉所说：反例“可以检验你是否已经正确而深入地了解了数学的真谛，还可以锻炼你的智力，并将你的判断和推理严格地约束在一种秩序之中”。

分析：我们只要考察f（x）=c的情形，即可知道这道题是一个错题。我们在平时应该多注意培养学生批判性的思维习惯，不迷信教材资料的科学意识，引导学生利用特殊反例去发现错误问题无疑对提高学生的思维品质大有益处。

再看看下面一则案例：

（1）设y=f（x）是定义在实数集上的一个函数，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图像关于（？摇？摇）

A.直线y=0对称 B.直线x=0对称

C.直线y=1对称 D.直线x=1对称

这是我们在高三复习时遇到的一道试题，后来就有一位学生对此提出质疑，并成功地构造了反例：设f（x）=sin2πx，则f（x-1）=sin[2π（x-1）]=sin2πx，f（1-x）=-sin2πx，显然，y=f（x-1）与y=f（1-x）的对称轴可以是x=0，y=0，x=1等，正确的选项不唯一。我想这位同学的灵感与质疑的习惯绝不是一时的兴致，其敏锐的洞察力和批判性的思维品质是值得大加赞扬的。

4.反例运用于教学的价值实现要把握时机

反例是数学认知活动得以顺利进行的“调节器”，对学生的数学认知活动能起到定向纠错、抑错扶正，提炼升华的作用。为了有效地防止或否定学生的错误认识，帮助学生尽快走出认知误区，运用反例时一定要遵循错误转化的原则，根据某些数学知识易致错的特点和学生认识过程中所处的不同状态，把握最佳时机。

4.1当思维受负迁移影响时。

消极思维定势表现为在定势的妨碍下，学习者不易改变思维方向，而用既定的思路去解决已发生变更的问题，导致解题错误，此时可通过反例克服思维的负迁移，引导学生从实质上分析并解决问题，提高思维的灵活性。例：教二次函数时，关于切线问题得出这样的结论：过一点与抛物线相切的直线一定不与抛物线相交。当然此结论是正确的，在后来教曲线方程时，学生由于受此影响，形成思维定势，得出如下结论：过一点与曲线相切的直线一定不与曲线相交.可举一反例说明这个结论是不正确的。

4.2当学生理解困难，面对错误“执迷不悟”时。

在数学认知活动中，由于学生知错不深刻，常常不能洞察错误的本质，因此，总有一种“似错非错”的感觉，思维处于混沌状态而不能自拔。此时，反例可使学生警觉、醒悟，排除错误的困扰。

5.反例运用于教学要注意的几个问题

5.1反例必须精炼。

对于同一个认知领域选择反例的数量不能过多。运用反例是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量罗列反例。在平常的教学中，对于一些核心的数学概念、定理、公式，我们的着力点当然要放在正面的类比、演绎推理上，充分揭示其产生的过程和与其他知识的联系。需要时，反例一定要用在刀口上，铿锵有力，点到为止。

5.2反例必须典型且有针对性。

反例要能代表概念性质对象的特点，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质。反例必须有针对性，应该针对所讲的教学内容、教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例。

5.3反例的分析与评价要得当。

对于同一个反例，每个学生可以发挥出不同的意义，有人只能找到浅层的信息，有人则能悟到深层次的知识联系，从而对症下药。教师要引导学生发现揭示反例背后的错因归属。分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来。为此，教师要做好启发引导工作，让学生综合运用所学的知识积极地独立思考，大胆地交流研讨，同时教师要营造民主和谐的教学气氛，即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，可以让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性的探索。

一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。实践证明，在教学中，恰当地运用反例，对于促进数学理解，提高甄别能力，巩固掌握概念、定理、公式，培养学生的逻辑思维能力，锤炼学生思维的缜密性，增强学生思维的批判性及创造性有着现实而又重要的意义。反例的构建过程要基于执教者对教学时机的把握和对学生感知困难或容易误解和直觉出现偏差的认知基础。反例的开发和应用是数学理解、数学发现的重要途径。在研究反例的过程中，不仅丰富了我们的实践经验，还会获得众多理论知识，对自身创新素质的培养，对自身认知体系的重构，对自身意识形态的洗练都不无裨益。让数学真正成为一门文化，一件蕴藏人文内涵的艺术珍品，让数学创新思维的种子在阳光雨露滋润下茁壮成长。

参考文献：

[1]郑隆忻，毛鄂宛.数学思维与方法论概论[M].武汉：华中理工大学出版社.

[2]肖德好.全品高考复习方案.北京：北京教育出版社.