对人教版初中数学教材“锐角三角函数”部分的分析

陈术金

摘 要： 初中数学中“锐角三角函数”部分的教学对中学生打好几何基础有着极其关键的作用，对学生一生的几何能力也至关重要。可见，搞好这部分内容的教学是极其必要和重要的。本文对人教版教材中这部分内容作教学分析，给同行作参考。

关键词： 初中数学教学 三角函数 基础内容 正弦函数

初中数学中“锐角三角函数”部分的教学对中学生的几何基础有着极其关键的作用，虽然初中生之前有过一些几何知识的初步了解，但这一部分仍然对初中生的几何知识起奠基作用，对他们一生的几何能力有着至关重要的影响。可见，搞好这部分内容的教学是极其必要和重要的。笔者对人教版教材中这部分内容作教学分析，给同行作参考。

一、教材分析

1.内容总体安排

本章的主要内容是锐角三角函数的概念（主要指正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形，这些内容是中学阶段三角学的基础知识。本章内容是在同学们学习了相似三角形、勾股定理和函数等有关知识的基础上研究的，这些知识是学习本章内容的直接基础。

本章内容分为两节，第一节主要内容有三部分：一是学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念；二是研究了几个特殊角（30°，45°，60°）的三角函数的求法；三是介绍了用计算器求锐角三角函数的方法。第二节首先主要研究了直角三角形中的边角关系和解直角三角形的知识；然后通过具体的实例说明了解直角三角形的应用，并总结出用三角函数的知识解决实际问题的一般过程。这个过程强调了数学建模的构建，凸显了数学建模的思想，强化了数形结合思想。可以说第一节是第二节内容的基础，后面的内容是第一节内容的应用，通过第二节的学习，巩固和提高了学生对基础内容的认识，使同学们对函数的概念及其本质有了更深层次的认识。

2.本章知识大致结构

从生活中的实际问题出发，引出三角函数，进一步着手解决锐角三角函数问题，最后，由解决问题的方法又回到生活中的实际问题中，引导学生解决具体问题。

3.课程目标

知识技能：（1）提高实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数的值求它对应的锐角；（2）能在简单条件下（已知一边和一锐角或两边）解直角三角形；（3）能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

数学思考：（1）能收集、选择和处理不同三角形中的相关信息，通过对比、归纳，抽象出锐角三角函数的概念；（2）在锐角三角函数概念的形成过程中，发展数感和符号感，发展抽象思维能力；（3）经历锐角三角函数概念的形成过程，初步形成对应与函数思想。

解决问题：（1）能结数形和数字等信息发现并提出数学问题；（2）能尝试评价不同三角函数之间的差异；（3）在概念的形成与应用中，学会与人合作，并与他人交流思维过程与结果；（4）通过解直角三角形在生活中的应用，提高解决实际问题的能力，发展应用意识。

情感与态度：（1）通过三角函数概念的建立及其应用，体验数字、符号是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具；（2）在解决直角三角形的广泛应用中，体验学习数学的乐趣，增强参与数学活动的自觉性、积极性；（3）进一步体验数学活动中充满着探索与创造；（4）在计算器的使用中，体验现代信息技术的价值。

从以上描述可以看出，对目标的要求不仅停留在知识技能方面，还特别注重让学生参入数学活动的过程性方面。注重数学应用意识的形成和培养，将教学目标的实现有机地融入到精心创设的情境中、过程中和应用中。上述目标涵盖了数学课程目标的各个纬度，体现了新课程的价值追求。

4.学习重点和难点

本章的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法；学生学习的难点是锐角三角函数的概念，因为锐角三角函数的概念反映了一个锐角的度数与实数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及sinA，cosA，tanA等函数的符号表示方法，学生都是第一次接触，理解和认识起来都有一定的难度。学习本章的关键是结合图形，遵循“从特殊到一般，从实践探索到证明”的方式呈现正弦函数概念，在学生通过实验、观察、归纳、猜想等求知过程的基础上，建立起角度与数值之间的对应关系，从而正确掌握锐角三角函数的概念，真正理解直角三角形中边、角之间的关系。

二、学情与学法分析

1.常见的认知误区和思维障碍

（1）不能正确理解三角函数的意义及表示方法；不能正确区分正弦函数、余弦函数和正切函数，在实际计算中出现混淆现象。

（2）由于过于依赖计算器，记错特殊角（30°，45°，60°）的三角函数。

（3）在解直角三角形时，错用直角三角形中的边与角之间的关系。

（4）混淆坡度与正弦函数。

（5）解决实际问题时，对于通过审题建立数学模型，学生普遍感到困难。

2.学法指导

（1）对于三角函数概念的教学，要突出正弦函数概念的教学，其他两个三角函数的概念可引导学生通过类比学习。要结合图形，通过计算、推导，让学生理解∠A的“对边和斜边的比值”仅与∠A的大小有关，在给出正弦函数概念之前，要留给予学生充分的时间和空间，引导他们经历知识再发现的过程，在这个过程中理解、掌握正弦函数的本质。在给出了正弦函数、余弦函数、正切函数的概念后，引导学生归纳规律，以便记忆和应用，避免出现混淆的现象。如，三角函数的定义都是比值，其中正弦函数、正切函数的“分子”都是“对边”；正弦函数、余弦函数的“分母”都是“斜边”；正切函数的定义中没有“斜边”，等等。

（2）对于30°，45°，60°角的三角函数，要引导学生按照教材里“思考”栏目中给出的两块三角板问题，结合具体的图形，自己计算出来，以“合作交流”的形式，先让学生自己找规律，然后相互交流，发现这些比值之间的规律，这样便于形成长久记忆。

（3）在解直角三角形时，能根据较复杂的图形，找到或通过添加辅助线构造出欲求元素所在的直角三角形，结合图形，根据已知元素及三角函数的概念正确选择边与角的关系。

（4）适当增加坡度与正弦函数的辨析题目，让学生在实际练习中对二者加以理解与区别。

（5）在解决实际问题时，结合具体的题目，养成良好的审题习惯：一边读题，一边画图或在给定的图形中准确找到对应的信息。特别强调解题的思路是构造直角三角形。

参考文献：

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