类比思维在高中数学教学和解题中的科学运用

杜玲玲

摘 要： 学习数学需要运用多种不同的数学思维，类比思维是众多数学思维中运用普遍且有效的思维方式之一.高中数学知识点繁多，学好抽象且复杂的定理、概念、性质和解题方法都需要学生具备一定的数学思维，掌握一定的数学方法，如果培养学生形成良好的类比思维，运用有效的类比方法解答高考题目，就能够在高考中收到意想不到的效果.

关键词： 高中数学教学 类比思维 科学运用

类比思想由来已久，我国古代有名的木匠鲁班看到有一种带有齿状的树叶，因此他根据类比思维发明了一种工具——锯，大大提高了古代劳动人民的劳动力和生产力.16世纪曾经著名的科学家牛顿就曾经运用类比思维将自由落体这一运动与天体的运动作比较，最终得到推动人类进步的伟大定律——万有引力定律.不难发现，无论是古代中国的文明进化还是西方科学的发展，类比思想都伴随着人类的智慧而不断发展.正因为类比思想具有这样重要的地位，所以我们在高中数学教学中，深入分析和探讨类比方法在高考解题中的应用，对于提高高中数学质量，帮助学生在高考中获胜具有非常深远的意义.

一、类比思想和类比方法的含义

所谓类比思想就是指将本质上或者形态上存在着相似或者相同的对象进行研究，找到其共同点的一种思维方式.这种思维方法在数学中的应用比较广泛，需要学生在不断深入练习的时候体味.

所谓类比方法就是运用类比思想求解一些实际问题的过程中总结到的一些实际操作性强的方式.这在数学学习中表现为具体应用类比思维进行解题的技巧.

二、类比思想在高中数学教学中的应用

高中数学教师要在教学实践的基础上渗透类比思想，引导学生更好地培养类比思维解题意识，在教学中强调类比学习的优势和地位，提高学生的思维能力.

（一）教师要善于在课堂基础概念、性质及定理中应用类比思想.高中知识点纷繁复杂，尽管如此，一些知识点是紧密联系的，教师要善于将知识点合理迁移，通过设计图标类板书，给学生以直观的类比思想展示，不断地促进学生运用类比迁移知识学习概念和性质等知识点.

例如，教师在讲解椭圆和双曲线这两部分内容的时候，可以在板书设计上展示如下类比模型，通过类比二者的不同和相同处，让学生透彻理解并掌握椭圆和双曲线这两个对象的表达式和图像及性质.

（二）教师要善于总结思维方式，将不同的思维结构进行类比.其实，高中生的思维发展已经基本成熟，因此他们具备很多成人式的“思维结构”.教师要善于捕捉学生在回答问题，阐述答案及解答题目过程中所展现出的思维结构，通过给学生列举并做相应的类比，让学生自身构筑提高类比思维的元认知.

例如教师可以抽出课堂的十分钟时间，总结不同的同学对同一高中数学例题求解的思维，有的学生善于运用“由表及里”的思维，有的学生善于运用“由简到难”的思维，而有的学生喜欢运用反证法这种“逆向”思维.通过类比，帮助学生发展思维，提高学生的思维能力.

（三）教师要善于将类比思维与教学模式相结合，增强学生互动的同时，帮助学生提高类比思维能力.当下我们在高中数学授课过程中，经常用到的教学模式有合作学习模式、交互式学习模式、情境式学习模式、多媒体技术学习模式等，教师可以将类比思想与这些教学模式和教学方法相结合，在点滴渗透的过程中应用类比方式，真正做到科学而精妙地使用.

例如，教师在讲解高中数学知识“二面角”的时候，由于涉及空间几何知识，不妨选用多媒体课件教学模式，通过制作一些形象、生动的几何图形帮助学生正确理解二面角的定义，与此同时教师也要把握将初中数学知识“角的认识”，与“二面角”的知识做类比，通过不断归纳和探讨，让学生真正掌握“二面角”的基本定义和性质及求解方法.

三、类比思想在高中数学解题中的应用

高中数学解题过程中基本上百分之十的题目都会用到类比思想，因此类比思想在高中数学解题中的重要作用显而易见.

（一）类比思想与数形结合思想在数与数解题过程中的应用.

例如：y=■的最值问题。

解：

y=■？圯2y+ysinx=3-cosx？圯ysinx+cosx=3-2y？圯

■sin（x+θ）=3-2y？圯sin（x+θ）=■？圯|■|≤1

？圯|3-2y|≤■？圯（3-2y）■≤y■ +1？圯3y■ -12y+8≤0？圯

■≤y≤■？圯y■=■，y■=■.我们也可以将原式类比于斜率公式k=■，因此我们不妨迅速地运用数形结合思想进行求解.

（二）类比思想在三角函数中的应用.

例如化简：

y=sin2xsin2ysin2z+sin（x+y）sin（y+z）sin（z+x）+

sin（x+z）sin（y+z）sin（y+x）-sin（y+x）sin2zsin（x+y）-

sin（y+z）sin（z+y）sin2x-sin（z+x）sin（x+z）sin2y

在解这道例题的时候我们要注意类比

sin（α±β）=sinα±sinβ和cos（α±β）=cosα±cosβ与

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ和cos（α±β）=cosαcosβ？芎sinαsinβ

二者之间谁对谁错，不要用错.

（三）类比思想在立体几何中的应用.

例如已知：在三角形中存在余弦定理：a■=b■ +c■ -2bccosA，那么，在三棱柱ABC-A■ B■ C■ 中存在关系（假设α表示平面BCC■ B■ 与平面ACC■ A■ 所成的二面角）：S■■=S■■+2S■■-2S■S■cosα.不难发现，在高中数学解题过程中还有很多技巧都要运用到类比思想，笔者通过多年在高中数学教学一线实践的经验，发现在教学过程中渗透类比思想往往能够帮助学生树立解题的自信心，掌握一定的类比方法解题技巧，针对不同的题目采用对应的方式，使得解题快速而高效.

综上所述，本文从三个方面分析了类比思维在高中数学教学中的广泛应用，无论是在教学上还是解题上都显示出类比方法的不可替代性，因此，努力拓展类比思维的不同应用是每一位高中数学教师展开教研工作的一大方向，同时在教学中不断渗透类比思维方法，帮助学生构筑类比思维，提高学生的思维能力和创造能力，我们责无旁贷.希望本文的阐述能够为广大教育同仁带来帮助，也愿意与同行共同探讨这方面的理论与方法.

参考文献：

[1]任子超.能力测试与试题设计[J].北京教育出版社，2003.

[2]顾国章.高考对类比推理的考查[J].中学数学，2008，2.endprint

摘 要： 学习数学需要运用多种不同的数学思维，类比思维是众多数学思维中运用普遍且有效的思维方式之一.高中数学知识点繁多，学好抽象且复杂的定理、概念、性质和解题方法都需要学生具备一定的数学思维，掌握一定的数学方法，如果培养学生形成良好的类比思维，运用有效的类比方法解答高考题目，就能够在高考中收到意想不到的效果.

关键词： 高中数学教学 类比思维 科学运用

类比思想由来已久，我国古代有名的木匠鲁班看到有一种带有齿状的树叶，因此他根据类比思维发明了一种工具——锯，大大提高了古代劳动人民的劳动力和生产力.16世纪曾经著名的科学家牛顿就曾经运用类比思维将自由落体这一运动与天体的运动作比较，最终得到推动人类进步的伟大定律——万有引力定律.不难发现，无论是古代中国的文明进化还是西方科学的发展，类比思想都伴随着人类的智慧而不断发展.正因为类比思想具有这样重要的地位，所以我们在高中数学教学中，深入分析和探讨类比方法在高考解题中的应用，对于提高高中数学质量，帮助学生在高考中获胜具有非常深远的意义.

一、类比思想和类比方法的含义

所谓类比思想就是指将本质上或者形态上存在着相似或者相同的对象进行研究，找到其共同点的一种思维方式.这种思维方法在数学中的应用比较广泛，需要学生在不断深入练习的时候体味.

所谓类比方法就是运用类比思想求解一些实际问题的过程中总结到的一些实际操作性强的方式.这在数学学习中表现为具体应用类比思维进行解题的技巧.

二、类比思想在高中数学教学中的应用

高中数学教师要在教学实践的基础上渗透类比思想，引导学生更好地培养类比思维解题意识，在教学中强调类比学习的优势和地位，提高学生的思维能力.

（一）教师要善于在课堂基础概念、性质及定理中应用类比思想.高中知识点纷繁复杂，尽管如此，一些知识点是紧密联系的，教师要善于将知识点合理迁移，通过设计图标类板书，给学生以直观的类比思想展示，不断地促进学生运用类比迁移知识学习概念和性质等知识点.

例如，教师在讲解椭圆和双曲线这两部分内容的时候，可以在板书设计上展示如下类比模型，通过类比二者的不同和相同处，让学生透彻理解并掌握椭圆和双曲线这两个对象的表达式和图像及性质.

（二）教师要善于总结思维方式，将不同的思维结构进行类比.其实，高中生的思维发展已经基本成熟，因此他们具备很多成人式的“思维结构”.教师要善于捕捉学生在回答问题，阐述答案及解答题目过程中所展现出的思维结构，通过给学生列举并做相应的类比，让学生自身构筑提高类比思维的元认知.

例如教师可以抽出课堂的十分钟时间，总结不同的同学对同一高中数学例题求解的思维，有的学生善于运用“由表及里”的思维，有的学生善于运用“由简到难”的思维，而有的学生喜欢运用反证法这种“逆向”思维.通过类比，帮助学生发展思维，提高学生的思维能力.

（三）教师要善于将类比思维与教学模式相结合，增强学生互动的同时，帮助学生提高类比思维能力.当下我们在高中数学授课过程中，经常用到的教学模式有合作学习模式、交互式学习模式、情境式学习模式、多媒体技术学习模式等，教师可以将类比思想与这些教学模式和教学方法相结合，在点滴渗透的过程中应用类比方式，真正做到科学而精妙地使用.

例如，教师在讲解高中数学知识“二面角”的时候，由于涉及空间几何知识，不妨选用多媒体课件教学模式，通过制作一些形象、生动的几何图形帮助学生正确理解二面角的定义，与此同时教师也要把握将初中数学知识“角的认识”，与“二面角”的知识做类比，通过不断归纳和探讨，让学生真正掌握“二面角”的基本定义和性质及求解方法.

三、类比思想在高中数学解题中的应用

高中数学解题过程中基本上百分之十的题目都会用到类比思想，因此类比思想在高中数学解题中的重要作用显而易见.

（一）类比思想与数形结合思想在数与数解题过程中的应用.

例如：y=■的最值问题。

解：

y=■？圯2y+ysinx=3-cosx？圯ysinx+cosx=3-2y？圯

■sin（x+θ）=3-2y？圯sin（x+θ）=■？圯|■|≤1

？圯|3-2y|≤■？圯（3-2y）■≤y■ +1？圯3y■ -12y+8≤0？圯

■≤y≤■？圯y■=■，y■=■.我们也可以将原式类比于斜率公式k=■，因此我们不妨迅速地运用数形结合思想进行求解.

（二）类比思想在三角函数中的应用.

例如化简：

y=sin2xsin2ysin2z+sin（x+y）sin（y+z）sin（z+x）+

sin（x+z）sin（y+z）sin（y+x）-sin（y+x）sin2zsin（x+y）-

sin（y+z）sin（z+y）sin2x-sin（z+x）sin（x+z）sin2y

在解这道例题的时候我们要注意类比

sin（α±β）=sinα±sinβ和cos（α±β）=cosα±cosβ与

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ和cos（α±β）=cosαcosβ？芎sinαsinβ

二者之间谁对谁错，不要用错.

（三）类比思想在立体几何中的应用.

例如已知：在三角形中存在余弦定理：a■=b■ +c■ -2bccosA，那么，在三棱柱ABC-A■ B■ C■ 中存在关系（假设α表示平面BCC■ B■ 与平面ACC■ A■ 所成的二面角）：S■■=S■■+2S■■-2S■S■cosα.不难发现，在高中数学解题过程中还有很多技巧都要运用到类比思想，笔者通过多年在高中数学教学一线实践的经验，发现在教学过程中渗透类比思想往往能够帮助学生树立解题的自信心，掌握一定的类比方法解题技巧，针对不同的题目采用对应的方式，使得解题快速而高效.

综上所述，本文从三个方面分析了类比思维在高中数学教学中的广泛应用，无论是在教学上还是解题上都显示出类比方法的不可替代性，因此，努力拓展类比思维的不同应用是每一位高中数学教师展开教研工作的一大方向，同时在教学中不断渗透类比思维方法，帮助学生构筑类比思维，提高学生的思维能力和创造能力，我们责无旁贷.希望本文的阐述能够为广大教育同仁带来帮助，也愿意与同行共同探讨这方面的理论与方法.

参考文献：

[1]任子超.能力测试与试题设计[J].北京教育出版社，2003.

[2]顾国章.高考对类比推理的考查[J].中学数学，2008，2.endprint

摘 要： 学习数学需要运用多种不同的数学思维，类比思维是众多数学思维中运用普遍且有效的思维方式之一.高中数学知识点繁多，学好抽象且复杂的定理、概念、性质和解题方法都需要学生具备一定的数学思维，掌握一定的数学方法，如果培养学生形成良好的类比思维，运用有效的类比方法解答高考题目，就能够在高考中收到意想不到的效果.

关键词： 高中数学教学 类比思维 科学运用

类比思想由来已久，我国古代有名的木匠鲁班看到有一种带有齿状的树叶，因此他根据类比思维发明了一种工具——锯，大大提高了古代劳动人民的劳动力和生产力.16世纪曾经著名的科学家牛顿就曾经运用类比思维将自由落体这一运动与天体的运动作比较，最终得到推动人类进步的伟大定律——万有引力定律.不难发现，无论是古代中国的文明进化还是西方科学的发展，类比思想都伴随着人类的智慧而不断发展.正因为类比思想具有这样重要的地位，所以我们在高中数学教学中，深入分析和探讨类比方法在高考解题中的应用，对于提高高中数学质量，帮助学生在高考中获胜具有非常深远的意义.

一、类比思想和类比方法的含义

所谓类比思想就是指将本质上或者形态上存在着相似或者相同的对象进行研究，找到其共同点的一种思维方式.这种思维方法在数学中的应用比较广泛，需要学生在不断深入练习的时候体味.

所谓类比方法就是运用类比思想求解一些实际问题的过程中总结到的一些实际操作性强的方式.这在数学学习中表现为具体应用类比思维进行解题的技巧.

二、类比思想在高中数学教学中的应用

高中数学教师要在教学实践的基础上渗透类比思想，引导学生更好地培养类比思维解题意识，在教学中强调类比学习的优势和地位，提高学生的思维能力.

（一）教师要善于在课堂基础概念、性质及定理中应用类比思想.高中知识点纷繁复杂，尽管如此，一些知识点是紧密联系的，教师要善于将知识点合理迁移，通过设计图标类板书，给学生以直观的类比思想展示，不断地促进学生运用类比迁移知识学习概念和性质等知识点.

例如，教师在讲解椭圆和双曲线这两部分内容的时候，可以在板书设计上展示如下类比模型，通过类比二者的不同和相同处，让学生透彻理解并掌握椭圆和双曲线这两个对象的表达式和图像及性质.

（二）教师要善于总结思维方式，将不同的思维结构进行类比.其实，高中生的思维发展已经基本成熟，因此他们具备很多成人式的“思维结构”.教师要善于捕捉学生在回答问题，阐述答案及解答题目过程中所展现出的思维结构，通过给学生列举并做相应的类比，让学生自身构筑提高类比思维的元认知.

例如教师可以抽出课堂的十分钟时间，总结不同的同学对同一高中数学例题求解的思维，有的学生善于运用“由表及里”的思维，有的学生善于运用“由简到难”的思维，而有的学生喜欢运用反证法这种“逆向”思维.通过类比，帮助学生发展思维，提高学生的思维能力.

（三）教师要善于将类比思维与教学模式相结合，增强学生互动的同时，帮助学生提高类比思维能力.当下我们在高中数学授课过程中，经常用到的教学模式有合作学习模式、交互式学习模式、情境式学习模式、多媒体技术学习模式等，教师可以将类比思想与这些教学模式和教学方法相结合，在点滴渗透的过程中应用类比方式，真正做到科学而精妙地使用.

例如，教师在讲解高中数学知识“二面角”的时候，由于涉及空间几何知识，不妨选用多媒体课件教学模式，通过制作一些形象、生动的几何图形帮助学生正确理解二面角的定义，与此同时教师也要把握将初中数学知识“角的认识”，与“二面角”的知识做类比，通过不断归纳和探讨，让学生真正掌握“二面角”的基本定义和性质及求解方法.

三、类比思想在高中数学解题中的应用

高中数学解题过程中基本上百分之十的题目都会用到类比思想，因此类比思想在高中数学解题中的重要作用显而易见.

（一）类比思想与数形结合思想在数与数解题过程中的应用.

例如：y=■的最值问题。

解：

y=■？圯2y+ysinx=3-cosx？圯ysinx+cosx=3-2y？圯

■sin（x+θ）=3-2y？圯sin（x+θ）=■？圯|■|≤1

？圯|3-2y|≤■？圯（3-2y）■≤y■ +1？圯3y■ -12y+8≤0？圯

■≤y≤■？圯y■=■，y■=■.我们也可以将原式类比于斜率公式k=■，因此我们不妨迅速地运用数形结合思想进行求解.

（二）类比思想在三角函数中的应用.

例如化简：

y=sin2xsin2ysin2z+sin（x+y）sin（y+z）sin（z+x）+

sin（x+z）sin（y+z）sin（y+x）-sin（y+x）sin2zsin（x+y）-

sin（y+z）sin（z+y）sin2x-sin（z+x）sin（x+z）sin2y

在解这道例题的时候我们要注意类比

sin（α±β）=sinα±sinβ和cos（α±β）=cosα±cosβ与

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ和cos（α±β）=cosαcosβ？芎sinαsinβ

二者之间谁对谁错，不要用错.

（三）类比思想在立体几何中的应用.

例如已知：在三角形中存在余弦定理：a■=b■ +c■ -2bccosA，那么，在三棱柱ABC-A■ B■ C■ 中存在关系（假设α表示平面BCC■ B■ 与平面ACC■ A■ 所成的二面角）：S■■=S■■+2S■■-2S■S■cosα.不难发现，在高中数学解题过程中还有很多技巧都要运用到类比思想，笔者通过多年在高中数学教学一线实践的经验，发现在教学过程中渗透类比思想往往能够帮助学生树立解题的自信心，掌握一定的类比方法解题技巧，针对不同的题目采用对应的方式，使得解题快速而高效.

综上所述，本文从三个方面分析了类比思维在高中数学教学中的广泛应用，无论是在教学上还是解题上都显示出类比方法的不可替代性，因此，努力拓展类比思维的不同应用是每一位高中数学教师展开教研工作的一大方向，同时在教学中不断渗透类比思维方法，帮助学生构筑类比思维，提高学生的思维能力和创造能力，我们责无旁贷.希望本文的阐述能够为广大教育同仁带来帮助，也愿意与同行共同探讨这方面的理论与方法.

参考文献：

[1]任子超.能力测试与试题设计[J].北京教育出版社，2003.

[2]顾国章.高考对类比推理的考查[J].中学数学，2008，2.endprint