2014年高考广东理科数学模拟试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

1. 设集合M={-1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（ ）

A. {0} B. {0，1} C. {-1，1} D. {-1，0}

2. 已知复数z1=2+i，z1·z2=2-i，则复数z2=（ ）

A. +i B. --i C. -i D. -+i

3. 已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），若||=2，||=3，·=-6，则的值为 （ ）

A. -2 B. 2 C. - D.

4. 若圆（x-a）2+（y-2）2=4（a<0）及直线l∶x-y+3=0，当直线l被圆截得的弦长为2时，a的值为（ ）

A.--1 B. - C.--1 D. -

5. 一整数等可能的在1，2，…，10中取值，以X记这个整数的正约数的个数，则EX的值为（ ）

A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 2.8

6. 按下列程序框图运算：若运算进行3次才停止，则x的取值范围是（ ）

A. （11，20） B. （-∞，28] C. （10，+∞） D. （10，28]

7. 若（x，y）满足不等式组x-y≥-2，x+2y≤6，x≥0，y≥0，则2y-x的最大值是（ ）

A. B. C. D.

8. 定义两个实数间的一种新运算“”：xy=lg（10x+10y），（x，y∈R）.对任意实数a，b，c给出如下结论：①（ab）c=a（bc）；②ab=ba；③（ab）+c=（a+c）（b+c）.

其中正确结论的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题（共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）.

9. 如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 .

10. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且2a2，S3，a4+2成等差数列，则数列{an2}的前5项和为 .

11. 设为第二象限角，若tan（+）=，则cos+sin= .

12. 设a>0，b>0，若3a·3b=3，则+的最小值为

.

13. 将自然数1，2，3，4…排成数陈（如右图），在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，…则第199个转弯处的数为____________.

选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos=4的直线与曲线x=t2，y=t3（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=_______.

15. （几何证明选讲选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF∶FB∶BE=4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=，b=3，sinC=2sinA.

（1） 求c的值；

（2） 求sin（A+）的值.

17. （本小题满分12分）

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望.

18. （本小题满分14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.

（1）求证：A1C⊥平面BCDE；

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

19. （本小题满分14分）

已知数列{an}中，a1=1，a2=3，且an+1=an+2an-1（n≥2）.

（1）设bn=an+1+an，是否存在实数，使数列{bn}为等比数列.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆+=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.

（Ⅰ） 求椭圆方程；

（Ⅱ） 若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：·为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分14分）

函数f（x）=a·ex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.

（Ⅰ）求此平行线的距离；

（Ⅱ）若存在x使不等式>成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差.求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

2013年高考广东理科数学模拟试题参考答案

1. B. 由于x2≤x0≤x≤1，即N={x|0≤x≤1}，

于是，M∩N={0，1}.

2. C. 由z1=2+i，z1·z2=2-iz2==-i.

3. C. 设，的夹角为，则·=|| ||cos=-6cos=-1，∴=180°.

即，共线且反向，∴=-，x1=-x2，y1=-y2，∴=-.

4. A. 由于圆的半径为2，弦长为2，因此，弦心距离d=，即圆心到直线的距离=1，得a=-1±，因为a<0，得a=--1.

5. B. 由于P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，所以EX=1×+2×+3×+4×=2.7.

6. D.若输入x，则第一次运算结果为3x-2；第二次运算结果为3（3x-2）-2即为9x-8；第三次运算结果为3（9x-8）-2，即27x-26.

由于3次才停止，于是27x-26>244，9x-8≤24410

7. A. 设2y-x=b，得y=x+，不等式组x-y≥-2，x+2y≤6，x≥0，y≥0所表示的可行域，如右图所示：

显然，当y=x+过点A时最大，此时，2y-x最大.

由x-y=-2，x+2y=6x=，y=，那么2y-x=2×-=.

8. D. 因为（ab）c=lg（10ab+10c）=lg[10+10c]=lg（10a+10b+10c），

而a（bc）=lg（10a+10bc）=lg[10a+10]=lg（10a+10b+10c），

于是（ab）c=a（bc）.

又ab=lg（10a+10b），而ba=lg（10b+10a），显然ab=ba.

（ab）+c=lg（10a+10b）+c=lg（10a+10b）+lg10c=lg[10c（10a+10b）]=lg（10a+c+10b+c）=（a+c）（b+c），即③对.故选D.

9. 12π.由几何体的三视图知该几何体为一个底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，由已知数据可求得该几何体外接球的半径R=，所以S=4πR2=12π.

10. 314. 2S3=2a2+a4+2，得q=2，则{an2}的公比为4，S5=

=341.

11. -.由tan（+）==tan=-，

∴（cos+sin）2===.

∵为第二象限角，tan=-2kπ+<<2kπ+πcos+sin<0，

得cos+sin=-.

12. 4. ∵3a·3b=3，∴a+b=1，+=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，

当且仅当=且a+b=1，即a=b=时等号成立.

13. 5051.观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”.故在第199个转弯处的数为：1+2（1+2+3+…+99）+100=5051.

14. |AB|=16.由cos=4，知x=4.

又x=t2，y=t3x3=y2（x≥0）.

由x=4，x3=y2x=4，y=8或x=4，y=-8.

那么|AB|==16.

15. .设BE=a，则AF=4a，FB=2a.

∵AF·FB=DF·FC8a2=2a=，于是得AF=2，FB=1，BE=，AE=.

又∵CE为圆的切线，∴CE2=EB·EA=×=CE=.

16. （1）在△ABC中，根据正弦定理，得=.

于是c=·a==2.

（2）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA==.

于是，sinA==.

所以sin（A+）=sinAcos+cosAsin=×+×=.

17. 设事件Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，

由已知P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=，

（1）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

则P（B）=P（A1A23）=P（A1）P（A2）P（3）=××（1-）=.

（2）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，

则P（C）=P（1+A12+A1A23）

=P（1）+P（A12）+P（A1A23）=+×+××（1-）=.

（3）X的可能取值为1，2，3，4，

P（X=1）=P（1）=，P（X=2）=P（A12）=×（1-）=，

P（X=3）=P（A1A23）=××（1-）=，P（X=4）=P（A1A2A3）=××=，

所以，X的分布列为：

E（X）=1×+2×+3×+4×=3.

18.（1）∵CD⊥DE，A1E⊥ED，

∴ DE⊥平面A1CD，又∵A1C平面A1CD，

∴ A1C⊥DE，又A1C⊥CD，

∴ A1C⊥平面BCDE.

（2）如图建立空间直角坐标系C-xyz，则D（-2，0，0），A（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0），∴=（0，3，-2），=（-2，-1，0）.

设平面A1BE法向量为=（x，y，z），则·=0，·=0，

∴3y-2z=0，-2x-y=0，∴z=y，x=-， ∴ =（-1，2，）.

又∵M（-1，0，），∴=（-1，0，），

∴cos====，

∴CM与平面A1BE所成角的大小45°.

（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，

则=（0，a，-2），=（2，a，0）.

设平面A1DP法向量为1=（x1，y1，z1），则ay1-2z1=0，2x1+ay1=0， ∴z1=ay1，x1=-ay1，

∴1=（-3a，6，a）.

假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则1·=0，∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2.

∵0

19. （1）假设存在实数，使数列{bn}为等比数列，则有b22=b1b3……①

由a1=1，a2=3，且an+1=an+2an-1，得a3=5，a4=11.

所以b1=a2+a1=3+，b2=a3+a2=5+3，b3=a4+a3=11+5，

所以（5+3）2=（3+）（11+5），解得=1或=-2.

当=1时，bn=an+1+an，bn-1=an+an-1，且b1=a2+a1=4，

有===2（n≥2）.

当=-2时，bn=an+1-2an，bn-1=an-2an-1，且b1=a2-2a1=1，

有===-1（n≥2）.

所以存在实数，使数列{bn}为等比数列.

当=1时，数列{bn}为首项是4、公比是2的等比数列；

当=-2时，数列{bn}为首项是1、公比是-1的等比数列.

（2）由（1）可知，an+1+an=4×2n-1，an+1-2an=1×（-1）n-1， 所以an=[2n+1+（-1）n].

则Sn=[（22-1）+（23+1）（24-1）+（25+1）+…+（2n+（-1）n-1）+（2n+1+（-1）n）]，

当n为偶数时，Sn=（22+23+24+25+…+2n+2n+1）

=×=（2n+2-4）.

当为奇数时， Sn=[（22+23+24+25+…+2n+2n+1）-1]

=×[-1]=（2n+2-5）.

故数列{an}的前n项和Sn=（2n+2-4）， n为偶数（2n+2-5）. n为奇数

20. （1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，

∴椭圆方程为+=1.

（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则=（x1，y1），=（2，y0）.

直线CM：=，即y=x+y0代入椭圆x2+2y2=4，

得（1+）x2+x+-4=0.

由韦达定理有x1（-2）=，∴ x1=-，

∴y1=，

∴=（-，），

∴·=-+==4（定值）.

（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP.

=（m-2，-y0），=（-，），

则由·=0，得-（m-2）-=0，从而得m=0.

∴ 存在Q（0，0）满足条件.

21. （Ⅰ）由于f ′=（x）=aex，g′（x）=，y=f（x）的图像与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图像与坐标轴的交点为（a，0），由题意得f ′（0）=g′（a），即a=.

又∵a>0，∴a=1.

∴ f（x）=ex，g（x）=lnx，

∴函数y=f（x）和y=g（x）的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0.

∴两平行切线间的距离为.

（Ⅱ）由>，得>，故m

令h（x）=x-ex，则m

当x=0时，m<0；

当x>0时，∵h′（x）=1-（ex+ex）=1-（+）ex，∵x>0，

∴+≥2=，ex>1，∴（+）ex>.

故h′（x）=1-（+）ex<0.

即h（x）=x-ex在区间[0，+∞）上单调递减，故hmax（x）=

h（0）=0，∴m<0.

故实数m的取值范围为（-∞，0）.

（Ⅲ）∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=ex-lnx，x∈（0，+∞），

∴F′（x）=ex-，设x=x0为F′（x）=ex-=0的解，

则当x∈（0，x0），F′（x）<0；

当x∈（x0，+∞），F′（x）>0，

∴F（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增.

故F′（1）=e-1>0，F′（0.5）=-2<0，

∴

又-=0，故Fmin（x）=-lnx0=+x0>2，

即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

（本试题由中山一中许少华老师拟制）

责任编校 徐国坚