高考概率与统计命题展望

王佩其

概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，也是高中数学中占有课时最多的一个知识板块，已成为近几年新课标高考的一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性，而在知识的交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一.该部分的命题点多，命题背景广阔，命题具有很大的灵活性，但基本的态势还是相对固定的，即统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题.高考试题中的概率与统计解答题往往具有一定的综合性.那么，2014年高考概率与统计考什么？

一、考查样本特征数的计数方法和概率的计算方法

预测题1. 汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚（视为排放量超标）.某检测单位对甲、乙两类MI型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下（单位：g/km）：

经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为x乙=120 g/km.

（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？

（2）若90

命题意图：概率与统计内容丰富，但高考要求不高.本题将统计与概率“无缝对接”.命制本题，旨在考查考生的综合能力和对统计与概率知识的实际应用能力.

解题思路：

（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，其CO2排放量共有10种不同的结果：80，110；80，120；80，140；80，150；110，120；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.

设“至少有一辆CO2排放量超标”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：80，140；80，150；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.

∴所求事件的概率P（A）==0.7.

（2）由题可知，x甲=x乙=120，x+y=220.

5s2甲=（80-120）2+（110-120）2+（120-120）2+（140-120）2+（150-120）2=3 000，

5s2乙=（100-120）2+（120-120）2+（x-120）2+（y-120）2+（160-120）2=2 000+（x-120）2+（y-120）2.

∵x+y=220，∴5s2乙=2 000+（x-120）2+（x-100）2.

令x-120=t，∵90

∴5s2乙=2 000+t2+（t+20）2，

∴5s2乙-5s2甲=2t2+40t-600=2（t+30）（t-10）<0，

∴s2乙

试题评价：本题虽然比较常规，但紧扣环保，寓意深刻，体现了数学与生活的关系，符合新课标理念.

二、考查茎叶图的意义和独立性检验思想的理解

预测题2. 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图1表示30人的饮食指数.（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主.）

（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；

（2）根据以上数据完成下列2×2的列联表：

（3）在犯错误的概率不超过1%的前提下，你能否认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.

附：K2=.

命题意图：将新课标两个新增内容茎叶图和独立性检验命制在同一题中，以达到“一题两考”的目的，同时也考查了考生的综合应用能力.

解题思路：

（1）由茎叶图确定甲、乙两类中饮食类型的人数，从而作出判定：由茎叶图知，50岁以下的12人中饮食指数低于70的有4人，饮食指数高于70的有8人.50岁以上的18人中，饮食指数低于70的有16人，高于70的只有2人.在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主.

（2）运用独立性检验进行分析.

2×2的列联表如下：

（3）因为K2===10>6.635，

又P（K2≥6.635）=0.010.

∴在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为亲属的饮食习惯与年龄有关.

试题评价：本题将茎叶图与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是理解茎叶图提供数据特征.本题求解中常见的错误：（1）不理解茎叶图反映的数据信息；（2）对独立性检验思想理解不深刻，作出错误判定.本题难度虽然不大，却值得大家一练.

三、考查对茎叶图和频率直方图的认识与应用，求随机事件概率的一般方法

预测题3. 某校高三某班的一次数学测验成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图2所示，据此解答如下问题：

（1）求分数在[50，60）的频率及全班人数；

（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；

（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率.

命题意图：通过设置“损坏的”统计图表，灵活考查考生对茎叶图和频率直方图的认识.

解题思路：

（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，

由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为=25.

（2）分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4；

频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为÷10=0.016.

（3）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个.

其中，至少有一份在[90，100]之间的基本事件有9个.

故至少有一份分数在[90，100]之间的概率是=0.6.

试题评价：本题“一题两图”，难度虽然不大，综合性却很强，体现了当下高考对统计与概率的要求，值得细细品味.

四、考查总体特征值的估计、离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题4.（理科）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q>80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2014年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内）.

（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和期望.

命题意图：将必修模块3的统计内容与选修2-3的离散型随机变量“融为一体”，着力考查考生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力.

解题思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人

（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列为：

E（X）=0×+1×+2×=.

命题评价：本题以当今社会的热点问题“酒后驾车”和“醉酒驾车”为切入口，虽然难度不大，却富有深刻的社会意义，值得一练.

五、综合考查对茎叶图的理解和应用，随机概率的计算和离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题5.（理科）空气质量指数PM2.5 （单位：g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，X的分布列及数学期望.

命题意图：将多个考点交汇在一题中，以达到“一题多考”与“综合考查”的目的.

解题思路：

（Ⅰ）依据茎叶图中的数据分布，估计甲城市空气质量总体较好.

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为=；乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为=；在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为×=.

（Ⅲ）X的取值为0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列为：

数学期望EX=0×+1×+2×=.

试题评价：本题关注社会热点，突出试题的社会价值，同时将概率与统计多个知识点综合，突出数学的应用价值，是一道内涵丰富的好试题.

六、借助频率分布直方图，综合考查样本估计总体的应用，以及随机概率的计算和离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题6.（理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

命题意图：将必修模块3的统计内容与选修2-3的离散型随机变量“融为一体”，着力考查考生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力.

解题思路：

（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人.

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：

.

=2.9.

（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列为：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的数学期望为.

试题评价：本题背景新颖，将自主招生与概率统计结合在一起，体现试题的时代性与概率统计知识的实用性，本题难度中等，无论从试题的思想性，还是难易程度，都符合新课标高考的要求.

（作者单位：江苏省太仓高级中学）

责任编校 徐国坚endprint

解题思路：

（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，

由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为=25.

（2）分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4；

频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为÷10=0.016.

（3）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个.

其中，至少有一份在[90，100]之间的基本事件有9个.

故至少有一份分数在[90，100]之间的概率是=0.6.

试题评价：本题“一题两图”，难度虽然不大，综合性却很强，体现了当下高考对统计与概率的要求，值得细细品味.

四、考查总体特征值的估计、离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题4.（理科）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q>80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2014年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内）.

（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和期望.

命题意图：将必修模块3的统计内容与选修2-3的离散型随机变量“融为一体”，着力考查考生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力.

解题思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人

（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列为：

E（X）=0×+1×+2×=.

命题评价：本题以当今社会的热点问题“酒后驾车”和“醉酒驾车”为切入口，虽然难度不大，却富有深刻的社会意义，值得一练.

五、综合考查对茎叶图的理解和应用，随机概率的计算和离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题5.（理科）空气质量指数PM2.5 （单位：g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，X的分布列及数学期望.

命题意图：将多个考点交汇在一题中，以达到“一题多考”与“综合考查”的目的.

解题思路：

（Ⅰ）依据茎叶图中的数据分布，估计甲城市空气质量总体较好.

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为=；乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为=；在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为×=.

（Ⅲ）X的取值为0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列为：

数学期望EX=0×+1×+2×=.

试题评价：本题关注社会热点，突出试题的社会价值，同时将概率与统计多个知识点综合，突出数学的应用价值，是一道内涵丰富的好试题.

六、借助频率分布直方图，综合考查样本估计总体的应用，以及随机概率的计算和离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题6.（理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

命题意图：将必修模块3的统计内容与选修2-3的离散型随机变量“融为一体”，着力考查考生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力.

解题思路：

（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人.

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：

.

=2.9.

（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列为：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的数学期望为.

试题评价：本题背景新颖，将自主招生与概率统计结合在一起，体现试题的时代性与概率统计知识的实用性，本题难度中等，无论从试题的思想性，还是难易程度，都符合新课标高考的要求.

（作者单位：江苏省太仓高级中学）

责任编校 徐国坚endprint

解题思路：

（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，

由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为=25.

（2）分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4；

频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为÷10=0.016.

（3）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个.

其中，至少有一份在[90，100]之间的基本事件有9个.

故至少有一份分数在[90，100]之间的概率是=0.6.

试题评价：本题“一题两图”，难度虽然不大，综合性却很强，体现了当下高考对统计与概率的要求，值得细细品味.

四、考查总体特征值的估计、离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题4.（理科）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q>80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2014年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内）.

（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和期望.

命题意图：将必修模块3的统计内容与选修2-3的离散型随机变量“融为一体”，着力考查考生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力.

解题思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人

（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列为：

E（X）=0×+1×+2×=.

命题评价：本题以当今社会的热点问题“酒后驾车”和“醉酒驾车”为切入口，虽然难度不大，却富有深刻的社会意义，值得一练.

五、综合考查对茎叶图的理解和应用，随机概率的计算和离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题5.（理科）空气质量指数PM2.5 （单位：g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，X的分布列及数学期望.

命题意图：将多个考点交汇在一题中，以达到“一题多考”与“综合考查”的目的.

解题思路：

（Ⅰ）依据茎叶图中的数据分布，估计甲城市空气质量总体较好.

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为=；乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为=；在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为×=.

（Ⅲ）X的取值为0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列为：

数学期望EX=0×+1×+2×=.

试题评价：本题关注社会热点，突出试题的社会价值，同时将概率与统计多个知识点综合，突出数学的应用价值，是一道内涵丰富的好试题.

六、借助频率分布直方图，综合考查样本估计总体的应用，以及随机概率的计算和离散型随机变量的分布列和数学期望

预测题6.（理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

命题意图：将必修模块3的统计内容与选修2-3的离散型随机变量“融为一体”，着力考查考生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力.

解题思路：

（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人.

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：

.

=2.9.

（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列为：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的数学期望为.

试题评价：本题背景新颖，将自主招生与概率统计结合在一起，体现试题的时代性与概率统计知识的实用性，本题难度中等，无论从试题的思想性，还是难易程度，都符合新课标高考的要求.

（作者单位：江苏省太仓高级中学）

责任编校 徐国坚endprint