基于优选法的拱桥加固层最优厚度取值探讨

唐世娇，周建庭，孙伊圣，樊甘露，钟 恒

(1.重庆交通大学 土木建筑学院，重庆 400074；2.中交第二航务工程局有限公司，湖北 武汉 430014)

各国桥梁加固技术的研究早己广泛展开，不仅在理论上有所突破，而且在工程实践中取得了大量的经验。但是针对具体的加固工作目前还没有形成统一的规范；桥梁加固的工作很大程度还是依靠经验进行，这不可避免的会出现盲目性和主观性，不利于工作的进行和整体水平的提高。

增大截面加固石拱桥是一种常用的加固石拱桥方法[1]，因为其有着较为成熟的理论和实践基础，在现阶段的石拱桥加固过程中被广泛的运用。在选择采用增大截面加固石拱桥的加固层厚度问题上工程师或是凭经验，或是采用条件相近的工程对比来确定尺寸，接着再通过反复试算来验证此加固后的截面是否能满足承载力要求，其计算繁琐、工程量大，同时这种设计成果存在着任意性，所得的尺寸并非最优。

现阶段，针对桥梁加固方案优选方面的研究比较多，其运用的主要数学手段有模糊数学法、层次分析法、系统分析法及专家系统法等，各有优缺点。但是，具体到针对某一方案所采用的结构构造、尺寸却少有被提及。笔者将采用优选法对增大截面加固石拱桥的加固层厚度进行研究，最终得到一个合理的，快捷的加固层厚度值。

1 基本原理

优选法(optimization method)是指以数学原理为指导，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法[2]。

优选法来源于来回调试方法，是一种通过试验寻求单峰函数极值最优解的科学方法。美国科学家J·基弗在1953年最早提出此方法，20世纪70年代中国数学家华罗庚在国内推广并取得实效。优选法的应用范围相当广泛，可以解决那些试验指标与因素间不能用数学公式表达，或虽有表达式但很复杂的问题。

在单因素优选法中，黄金分割优选法(0.618法)、菲波那契数列优选法(分数法)、对分法是较常被运用到的方法，笔者采用对分法对增大截面加固石拱桥最优加固层厚度取值问题进行探讨。

对分法的基本思路是首先根据经验确定试验范围，假定物质A处于 (a，b)之间，第1次在(a，b)的中点m1处做试验，如果试验结果表明此时物质A的各项性能指标均得到认可，则去掉大于m1的1/2，第2次试验在(a，m1)的中点m2处进行；反之，如果第1次试验结果表明此时物质A的某项性能指标不符合要求，则去掉小于m1的1/2，第2次试验在(m1，b)的中点处进行。循环直至找到所要求的点。这个方法的要点是每个试验点都取在试验范围的中点，将试验范围分为两半。

2 基本思路

影响桥梁承载能力的因素有很多，为了简化评判标准，笔者仅仅考虑单个因素的影响，即只考虑对目标承载能力F影响较大的因素：石拱桥加固层厚度x，其它因素保持不变 ，进行多次迭代来确定F(x)在定义区间(a，b)的最大值的近似位置，从而选出一个比较合理的加固层厚度值。

为避免不必要误解，首先对两个记号作说明：①(a，b)：表示实数空间上的一段开区间，但并不包括两个边界点；②p≡q：表示把q的值赋予p。

如图1，运用到实腹式石拱桥加固层厚度选取的对分法步骤如下：

1)确定加固层厚度的试验范围 (a，b)；任一给定的试验精度ε>0；

2)将(a，b)均分为2份，取(a，b)的中点m1；

3)取(a，m1)里接近m1的点m2，对桥梁进行加固承载力的评判，得到对应的关键截面承载能力F(m1)、F(m2)；

“啊？我求你？我什么时候求过你，我用得着求你吗？”马国平不服气地嚷着，“我命大福大，一点皮毛之伤，抓一把土撒上，血就止住了，伤就愈合了。”

4)如果F(m1)≥F(m2)，记(a，b)≡(m1，b)；否则，记(a，b)≡(a，m1)；

5)转到第2)步，迭代计算；

6)当b-a≤ε时，∨mx∈(a，b)为最优解，算法终止。

图1 优选法推求最优加固层厚度流程Fig.1 The deductive flow chart of the optimal reinforcement layer thickness based on optimization method

3 优选法的运用

3.1 最优加固层厚度的选定

分别对跨径为6，8，10，13，16 m的石拱桥桥梁进行加固，并采用优选法对其进行评判甄选，确定其最优加固层厚度。笔者仅对跨径为13 m的标准实腹式石拱桥进行描述[6]，其失跨比1/4，拱圈厚0.55 m，拱板宽7 m，材料为M7.5号砂浆砌 40 号块石。

根据桥梁基本情况，对石拱桥进行加固确定其加固层厚度前，可以先对石拱桥做出一个基本的判断(图2)，将加固层厚度值界定于一个范围内，为了石拱桥本身的构造需要，加固层厚度最小应取8 cm[5]。

图2L=13 m时，加固层厚度排列顺序Fig.2 Order figure of the reinforcement layer thickness whenL= 13 m

首先先将加固层厚度定在8～30 cm这个范围内(图2)，并取精度ε=3。在该跨径下，首先选定x=19.0 cm，计算其关键截面承载力，最终发现拱脚截面的轴向力偏心距e=M/N=0.135>0.130，此时为大偏心构件，拱腹受拉，承载力将大幅度下降，已不能满足规范要求。第2次选定(8,19)靠近19的点x=16.25 cm，同样发现其拱脚截面处于大偏心的状态，不能满足规范要求。则可去掉8～19 cm这一段，赋予区间(19，30)，因为b-m1=30-19=11>ε=3，则继续在19～30 cm的范围运用优选法进行优选。在区间(19,30)取一半值x=24.5 cm，得到其关键截面承载力F(24.5)，并取接近于此值的x=21.75 cm，计算得到其承载力F(21.5)，判断在x=21.75 cm情况下，加固后桥梁承载力提升效果较x=24.5 cm好，此时赋予区间(19, 21.75)，因为此时m1-a=21.75-19=2.75<ε=3，则结束迭代过程，取x=21.75 cm为此加固厚度的最优值。对比过程如表1。

表1 L=13 m时各加固层厚度比选 Table 1 Selection of each reinforcement layer thickness when L = 13 m

注：承载力富余量取拱脚、L/4、拱顶等3处截面的值进行对比。

3.2 方程的建立

X= 15.265lnL- 17.644

(1)式中：X为加固层厚度，cm；L为所加固石拱桥跨径，m。表2 不同跨度最优加固层厚度 Table 2 Optimal reinforcement layer thickness value of different spans

在实际桥梁加固过程中，采用增大截面方法加固桥梁时所采用的加固结构层的厚度还与多个因素有关，例如桥梁所处公路的公路等级、交通量、原桥的截面厚度、桥梁失跨比等。笔者在此仅仅考虑了桥梁跨径与加固层厚度的函数关系，为了增加其可靠性，故增设一个安全系数，得到修正公式(2)：

X= 15.265lnL- 17.644 +C

(2)

3.3 C的取值分析

C的取值主要考虑两个方面：一方面是计算承载力过程中为了简化计算而进行的一些等效工作与假定；另一方面是考虑现浇钢筋混凝土的最小尺寸要求、主拱圈必要的强度储备等因素以确定最小加固层厚度。

实际等效工作与假定主要有几个方面：①平面变形假定，截面法线方向与切线方向的夹角在变形前后保持不变；②忽略了一些次要因素而带来偏于不安全的后果，如忽略了剪力的影响；③考虑了桥梁不同的状态，计算时考虑一定的折减系数。综合以上考虑，并参考课题组在赴西藏、贵州、重庆等众多桥梁实地考察、调研并对其中的部分桥梁分析计算整理的基础上，提出C=3.0的取值。

同时考虑主拱圈必要的强度储备而必须设立的最小加固层厚度，在跨径为5 m时，最小加固层厚度至少取8 cm的要求，可以反推得到C=1.1的取值。

综合上述两个方面，可以整理分析得到C=3.0的取值。

即采用增大截面加固时最优加固层厚度与跨径之间的函数关系式为：

X= 15.265lnL- 14.644

(3)式中：X为加固层厚度，cm；L为所加固石拱桥跨径，m。

由式(3)函数线形可以看出，当跨径逐渐增大到一定值时，加固层的厚度就不再随着跨径的增大而增大，而是趋于平稳，也就是说，由于加固层本身的混凝土重量对原结构的影响较大，若加固层厚度过大则其加固性价比将会降低，这也吻合了现实中石拱桥加固的实际情况。

在实际桥梁的加固过程中，可以运用上述方法，输入参数计算得到一个较为准确的加固层厚度值，再对其进行承载力等相关验算，从而避免了材料的浪费和大量的试算验算工作。

3.4 工程实例

重庆市某桥是一座净跨径14 m，净矢高3.7 m的等截面悬链线单跨实腹式石拱桥，主拱圈厚度0.5 m，宽度5 m，经质检部门检测该桥被鉴定为危桥。决定对该桥主拱圈加固处治，由专家评选拟定用增大截面

加固主拱圈，通过反复试算，并结合类似桥梁加固方案，最终拟定其加固层厚度为25 cm。

现采用笔者通过优选法所得函数关系式(3)进行计算加固层厚度。直接代入跨径L=14 m，经计算得到X=25.6 cm，由此可得此桥的最优加固层厚度为25.6 cm。

将此方法得到的厚度值与专家通过经验得到的厚度值进行加固承载力对比，得到结果如表3。

表3 L=14 m时加固承载力对比 Table 3 Comparison table of shear capacity when L=14 m

通过比较发现，不同加固层厚度下的关键截面承载力富余量较为接近。而本文所使用的优选法及最后所得函数关系式确定的加固层厚度在同样能满足承载力要求的情况下，其拟定更加快捷。

4 结 语

大量的石拱桥由于经过了长时间的交通压力和荷载作用处于一个较差的工作状态。而实施简单、快速的加固处治方法，可以迅速、经济地提高其承载能力，而确定桥梁加固的结构尺寸至今规范未作明确的要求。因此，笔者运用数学方法，以满足承载力为前提，通过分析研究得到有效方便的增大截面加固石拱桥加固层厚度的取值公式。

当然，影响增大截面加固石拱桥加固层厚度的因素有很多，笔者仅分析了其中的跨径这一因素；同时为了简化计算对比过程，仅以最关心的目标承载力作为考虑因素，公式在应用过程中难免出现偏差。因此，在实践中需要不断积累资料或进一步考虑其他因素，完善和精确该公式。

[1] 周建庭，刘思孟，李跃军.石拱桥加固改造技术[M].北京:人民交通出版社,2008.Zhou Jianting,Liu Simeng,Li Yuejun.Bridge Reinforcement Technology [M].Beijing:China Communications Press,2008.

[2] 华罗庚.优选法平话及其补充[M].吉林:吉林省革命委员会,1972.Hua Luogeng.Description and Complement of Optimization Method [M].Jilin:Revolutionary Committee of Jilin Province,1972.

[3] 周建庭．钢筋混凝土套箍封闭主拱圈加固拱桥研究[J].公路,2002 (1):44-46． Zhou Jianting.The technology of using reinforced concrete yoke to strengthen arch bridge [J].Highway,2002(1):44-46.

[4] JTG/T J 22—2008公路桥梁加固设计规范[S].北京:人民交通出版社,2008.JTG/T J 22—2008 Specification for Strengthening Design of Highway Bridges [S].Beijing:China Communications Press,2008.

[5] 刘庆阳，周建庭，王玲，等.增大截面法加固石拱桥最小加固层厚度[J].重庆交通大学学报:自然科学版,2008,27(1):20-23.Liu Qingyang,Zhou Jianting,Wang Ling,et al.Increasing section method to reinforce arch minimum reinforcement layer thickness [J].Journal of Chongqing Jiaotong University:Natural Science,2008,27( 1) :20-23.

[6] 顾安邦，孙国柱.公路桥涵设计手册:拱桥(下)[M].北京:人民交通出版社,1994.Gu Anbang,Sun Guozhu.Design Manual of Highway Bridges——Arch:Part 2 [M].Beijing:China Communications Press,1994.

[7] JTG D 61—2005公路圬工桥涵设计规范[S].北京:人民交通出版社,2005.JTG D 61—2005 Code for Design of Highway Masonry Bridges and Culverts [S].Beijing:China Communications Press,2005.

[8] JTG D 60—2004公路桥涵设计通用规范[S].北京:人民交通出版社,2004.JTG D 60—2004 General Code for Design of Highway Bridges and Culverts [S].Beijing:China Communications Press,2004.