关于初中数学极限思想的教学反思

程心亮

摘 要：极限思想是中学阶段重要的教学思想和内容。在初中数学教学中，教师应充分认识极限思想在培养学生方面的“特殊”作用及意义，对教材中所涉及的极限思想内容应加大渗透力度。

关键词：极限思想；渗透；反思

一、问题的提出

极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，在现代数学乃至物理学等学科中有广泛的应用。近年来，我国加快了中小学数学课程教学改革的进程，一定程度上改进了以往传统的初中数学教学理念，在重视基本知识达标和基本技能掌握的同时，逐渐关注数学思想的形成和渗透。

作为数学思想中非常重要的极限思想，在初中数学教学中能否被渗透？如果可以，又该如何开展教学？显然，要回答这一系列问题并不轻松。一方面，《全日制义务教育数学课程标准（2011年）》（以下简称《课标》）对初中阶段学生学习水平划分为四个层次，即“了解”、“理解”、“掌握”和“运用”。由于极限的思想方法只定位在“了解”的层面，因此教学设计应以初中阶段学生认知心理和思维发展水平以及课堂教学的有效性为前提，把握这个“度”，不能随意加以拔高或加深。另一方面，人教版、华东师大版和苏科版教材在九年级安排“圆周率——圆的周长与直径的比值”等内容时明确运用了极限的思想方法，通过一节初中阶段学生计算圆周率的值的研究性学习展示课设计，对如何渗透隐含的数学思想方法——极限思想进行过有益的探讨。有学者曾做过学生在初二阶段进行极限思想的基础——极限概念的教学的实验研究，实验结论在一定程度上肯定了在初中二年级学生中开展严格定义下的“极限”概念教学的可行性。事实上，教学中在已知三角形两边长求周长的取值范围时，就自觉或不自觉的渗透了极限思想的方法。

鉴于《课标》中对极限思想的教学要求停留在“了解”阶段，因此教材虽有所涉及，但还停留在作为阅读材料或研究性学习内容的层面上，是否在常规教学中作必要安排还未“盖棺定论”，故笔者在多次听课中特别留意部分教师在教学中对此重视不够或匆匆带过的情况。老师对学生不作要求或只是让学生自学了解，对极限思想的作用认识不足，这个现象引起笔者的思考。极限思想在现今的初中阶段教学中如何渗透？渗透极限思想的意义在哪里？在此同大家探讨，谈一些自己的认识。

二、极限思想应结合学生操作活动和反省抽象加以渗透

数学思想方法具有过程性和操作性的特点，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用中，蕴涵于具体的操作过程中。数学学习是一种经验性的活动，经验性的重要表现在于操作运算行为是数学认知发生的基础性行为。因此，极限思想的教学需要以知识内容和操作活动为载体，将极限思想处理问题的方法融进某些具体的知识教学和操作活动过程中，使极限思想的教学“自然而然”地发生，便于学生对极限思想的方法有初步的直观感受，逐步达到渗透的目的。如“圆的切线定义”的教学中可创设相应问题情境和组织活动对极限思想加以渗透：

直线l和⊙O相交于A、B两点.（如图1）

取线段AB中点为，C连接OC，延长OC交⊙O于D，则易知OD⊥l，平移l交⊙O于A1、B1，则有OD平分A1B1且OD⊥A1B1，仍有OD⊥l.

仿照上述过程继续这样下去，可知线段AnBn逐渐缩短，易得OD平分AnBn且OD⊥AnBn，同时，亦有OD⊥l；最后线段AnBn收缩为一点（即D点），此时l即为⊙O的切线。（如图2）

■

运用极限在处理问题时，需要对研究变量的变化趋势作分析和判断。这就需要学生经历观察、猜想、操作、验证等过程，发挥他们相应年龄段的思维特长，这便切合初中阶段学生的心理认知特点，利于学生形成对极限思想的直观感受，为极限相关知识的后续学习打下基础。

近年来，随着国内对结构主义理论的深入研究，我们认识到教学中“知识不是由认知主体被动接受的，而是主动建造的”。在主动建构和原有概念认知发生转变中，学生应具有一种怎样的心理机制呢？操作活动提供了学生组织极限概念的基础，却并未提供极限概念本身。要构造学习者理解的极限概念，达到学习极限思想的目的，关键是一种思想上的飞跃，即皮亚杰提出的“反省抽象”。反省，就是返身、反思，自己进行了实践性活动（如习题解答等操作活动），然后“脱身”出来，以一个“局外人”的身份来重新审视自己所做之事，将其置于被自己思考的地位上加以考虑，这时自己的活动转变为思考的对象，并由此归结出某个结论，就是反省抽象。例如：已知三角形两边长分别是3和8，把求该三角形的周长范围的解题过程当成思考对象（在此可设第三边长为a，三角形周长为l，则第三边的范围为5

这里需要注意，从学生极限思想学习过程中观察教师示范、自己动手操作和对它的反省这二者关系上看，操作活动是被反省的对象，是不可或缺的基础，反省则要依赖这一基础方能展开，方能做到“有的放矢”，这是两个不同层次上的活动。所以，极限思想的方法要能在初中阶段有效渗透，关键是建立在教学“过程化”的基础上。没有基础性的认知和操作等“过程化”活动，反省就成了无源之水。操作活动达不到一定强度，“水源”就会萎缩，甚至会干涸。

三、初中阶段教学中渗透极限思想的意义

尽管《课标》明晰了数学思想方法的作用，强调在教学中应重视数学思想的生成与渗透，但对学生的评判标准主要依据应试指标，以行为主义为指导的“双基”理论对我国数学教育的影响深远，这就使得不少初中数学一线教师更注重教学中与应试要求相关的数学思想方法。那么在现阶段极限思想的方法并不属于测试中需要掌握和考查的一类，教学对此并未作必要的安排，重视程度不够的背景下，应如何认识极限思想的作用和意义呢？

（一）极限思想为某些教学难点的处理开辟了途径

极限思想的方法往往是建立变量，并且首先确定它的一连串越来越准确的近似值，通过考察这一连串近似值的趋向，把变量的准确值确定下来。这就意味着学生可从分析简单情况入手，在此过程中通过“观察”、“计算”、“推测”，发现其中规律，获得必要结论，这就为教学中处理某些难点开辟了途径。如特殊角的三角函数值是教学中的一个难点，教学中往往直接给出结论，缺乏必要的“过程”和“理由”，学生理解较为困难。

这里若是借助极限思想加以解决，则可帮助学生突破这一难点。（如图3）在Rt△ABC中，∠C为直角，设BC=a，AC=b，则cos∠A=■，则当BC逐渐缩短，即原∠A不断缩小时，如图4所示，有cos∠BnAC=■，易知当BC不断缩短，即原∠A不断缩小为0°时，cos∠BnAC=■的值越来越靠近1，由此我们可规定cos0°=1，仿照类似过程，利用极限思想的方法，我们还可得到0°或90°的其他三角函数值。

■

学生常在教学难点上产生理解障碍，这种情况主要发生在教学中知识脉络的不连续处，或是一个特殊知识系列的起点处。在这些地方，学生学习所需的已有知识（即认知结构中有紧密关系的知识点）同新知识的关联比较薄弱或者根本不存在，就容易引起学习问题和认知空缺。而极限思想通过探究某一变量的变化趋势对问题加以分析和解决，依托极限思想的“过程性”优势，使得问题探究变得“循序渐进，由浅入深”，这就意味着学生的新知学习同已有知识储备间容易建立必要的联系，客观上为理解“难点”突破了认知上的障碍。如圆切线性质中关于“圆的切线和圆有且仅有一个交点”就是一个教学难点，但此问题若是仿照前文所述，借助极限思想对圆切线的定义作“过程性”探究，则容易突破这一教学难点。

（二）极限思想为进一步学习某些知识难点作铺垫

作为中学阶段最基本和最重要的一类数学思想，极限思想除具有一般数学思想具有的教育作用和意义外，更由于其特有的分析处理问题的方法，凸显其在培养学生方面所具有的“特殊”价值和意义。

《课标》积极倡导遵循学生学习数学的心理规律，提供给学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的[9]，这反映到学生培养上就是将传统的知识传授型转变为能力培养型，在注重传统“双基”的达成的同时，更加注重知识的生成过程，毕竟，“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么[10]”。极限思想在探究问题方面特有的“过程性”，意味着学生在运用极限思想进行某些新知学习时，可借助已有认知储备，主动建构自己的新知识。如前文所述在运用极限思想探寻特殊角（如0°或90°）的三角函数值的过程中，学生就可利用前面所学的勾股定理、三角形相似性质、锐角三角函数等相关知识开展对问题的自主探究，这对培养学生的数学学习兴趣，形成严密的推理能力都是大有裨益的.

维果茨基（Lev Vygotsky）认为，好的学习内容更应当是“发展性”的，即内容安排、问题设置应处于学生的“最近发展区”（zone of proximal development），应着眼于学生未来的教育和发展。由此，初中数学教学不应当以学生发展的昨天，而应当以学生发展的明天为方向，只有这样，数学才能在教学过程中激励那些目前尚处于“最近发展区内”的学生，为培养进一步学习所需的辩证思考、逻辑推理能力打下基础。在笔者看来，初中阶段对极限思想作必要渗透不只是为顺利衔接高中阶段极限及与之相关知识如（导数的学习）作铺垫，也是为更深层次的数学学习做好准备。

解决上述问题的关键在于学生具有必要的认知铺垫和知识基础。事实上，在我们初中阶段就可尝试通过极限思想的渗透加以实施。例如在求代数式■（n取自然数）的值的教学中，不拘泥于求n为某具体数值时代数式的值，而是通盘考虑，将极限思想的“过程化”贯穿其中，引导学生探究n取一般自然数时代数式的取值情况，当学生发现■在n不断增大的情况下其值不断接近■时，可转而引导学生考虑n为何值时，■与■差值的绝对值小于某个具体数值（如■），再深入下去，■与■差值的绝对值小于任意正数n时的取值又是怎样的？这一渗透处于学生初中发展阶段中的“最近发展区”（zone of proximal development），属于虽不能独立但可以在教师帮助下进行学习的内容；同时，这一过程亦是和现在不少大学教学中先让学生计算某一具体？着和N，逐步将难点与心理结构中相关内容加以联系，一段时日后再综合成以？着-N为语言的定义理解的以分散难点为原理的教学方式一脉相承的.这样，通过在初中阶段渗透极限相关的思想方法，层层铺垫，就为培养学生学习更高层次的内容做好认知铺垫和准备。

四、感悟

有鉴于此，笔者认为，在初中阶段应充分挖掘教材，结合已有知识内容，创设利于学生开展操作活动和反省抽象的问题情境，对现行教材中有所涉及但还未作必要安排的极限思想加以渗透。这一过程符合初中阶段学生的认知特点，有助于学生养成严谨的学习习惯，丰富学生的认知思维策略，提升他们解决问题的能力，也为将来顺利开展更高层次的关于极限相关内容的学习做好充分的认知储备。

[参 考 文 献]

[1]波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，2011.

[2]中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（2011年）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]周淮水等.在初中二年级试教代数“极限”部分的实验研究[J]，心理学报，1960（4）.

[4]李士錡.熟能生巧吗[J].数学教育学报，1996（5）.

[5]奥苏贝尔.教育心理学-学与教的原理[M].上海：上海教育出版社，1983.

[6]维果茨基.维果茨基儿童心理与教育论著选[M].杭州：杭州大学出版社，1999.

（责任编辑：张华伟）

（一）极限思想为某些教学难点的处理开辟了途径

极限思想的方法往往是建立变量，并且首先确定它的一连串越来越准确的近似值，通过考察这一连串近似值的趋向，把变量的准确值确定下来。这就意味着学生可从分析简单情况入手，在此过程中通过“观察”、“计算”、“推测”，发现其中规律，获得必要结论，这就为教学中处理某些难点开辟了途径。如特殊角的三角函数值是教学中的一个难点，教学中往往直接给出结论，缺乏必要的“过程”和“理由”，学生理解较为困难。

这里若是借助极限思想加以解决，则可帮助学生突破这一难点。（如图3）在Rt△ABC中，∠C为直角，设BC=a，AC=b，则cos∠A=■，则当BC逐渐缩短，即原∠A不断缩小时，如图4所示，有cos∠BnAC=■，易知当BC不断缩短，即原∠A不断缩小为0°时，cos∠BnAC=■的值越来越靠近1，由此我们可规定cos0°=1，仿照类似过程，利用极限思想的方法，我们还可得到0°或90°的其他三角函数值。

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学生常在教学难点上产生理解障碍，这种情况主要发生在教学中知识脉络的不连续处，或是一个特殊知识系列的起点处。在这些地方，学生学习所需的已有知识（即认知结构中有紧密关系的知识点）同新知识的关联比较薄弱或者根本不存在，就容易引起学习问题和认知空缺。而极限思想通过探究某一变量的变化趋势对问题加以分析和解决，依托极限思想的“过程性”优势，使得问题探究变得“循序渐进，由浅入深”，这就意味着学生的新知学习同已有知识储备间容易建立必要的联系，客观上为理解“难点”突破了认知上的障碍。如圆切线性质中关于“圆的切线和圆有且仅有一个交点”就是一个教学难点，但此问题若是仿照前文所述，借助极限思想对圆切线的定义作“过程性”探究，则容易突破这一教学难点。

（二）极限思想为进一步学习某些知识难点作铺垫

作为中学阶段最基本和最重要的一类数学思想，极限思想除具有一般数学思想具有的教育作用和意义外，更由于其特有的分析处理问题的方法，凸显其在培养学生方面所具有的“特殊”价值和意义。

《课标》积极倡导遵循学生学习数学的心理规律，提供给学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的[9]，这反映到学生培养上就是将传统的知识传授型转变为能力培养型，在注重传统“双基”的达成的同时，更加注重知识的生成过程，毕竟，“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么[10]”。极限思想在探究问题方面特有的“过程性”，意味着学生在运用极限思想进行某些新知学习时，可借助已有认知储备，主动建构自己的新知识。如前文所述在运用极限思想探寻特殊角（如0°或90°）的三角函数值的过程中，学生就可利用前面所学的勾股定理、三角形相似性质、锐角三角函数等相关知识开展对问题的自主探究，这对培养学生的数学学习兴趣，形成严密的推理能力都是大有裨益的.

维果茨基（Lev Vygotsky）认为，好的学习内容更应当是“发展性”的，即内容安排、问题设置应处于学生的“最近发展区”（zone of proximal development），应着眼于学生未来的教育和发展。由此，初中数学教学不应当以学生发展的昨天，而应当以学生发展的明天为方向，只有这样，数学才能在教学过程中激励那些目前尚处于“最近发展区内”的学生，为培养进一步学习所需的辩证思考、逻辑推理能力打下基础。在笔者看来，初中阶段对极限思想作必要渗透不只是为顺利衔接高中阶段极限及与之相关知识如（导数的学习）作铺垫，也是为更深层次的数学学习做好准备。

解决上述问题的关键在于学生具有必要的认知铺垫和知识基础。事实上，在我们初中阶段就可尝试通过极限思想的渗透加以实施。例如在求代数式■（n取自然数）的值的教学中，不拘泥于求n为某具体数值时代数式的值，而是通盘考虑，将极限思想的“过程化”贯穿其中，引导学生探究n取一般自然数时代数式的取值情况，当学生发现■在n不断增大的情况下其值不断接近■时，可转而引导学生考虑n为何值时，■与■差值的绝对值小于某个具体数值（如■），再深入下去，■与■差值的绝对值小于任意正数n时的取值又是怎样的？这一渗透处于学生初中发展阶段中的“最近发展区”（zone of proximal development），属于虽不能独立但可以在教师帮助下进行学习的内容；同时，这一过程亦是和现在不少大学教学中先让学生计算某一具体？着和N，逐步将难点与心理结构中相关内容加以联系，一段时日后再综合成以？着-N为语言的定义理解的以分散难点为原理的教学方式一脉相承的.这样，通过在初中阶段渗透极限相关的思想方法，层层铺垫，就为培养学生学习更高层次的内容做好认知铺垫和准备。

四、感悟

有鉴于此，笔者认为，在初中阶段应充分挖掘教材，结合已有知识内容，创设利于学生开展操作活动和反省抽象的问题情境，对现行教材中有所涉及但还未作必要安排的极限思想加以渗透。这一过程符合初中阶段学生的认知特点，有助于学生养成严谨的学习习惯，丰富学生的认知思维策略，提升他们解决问题的能力，也为将来顺利开展更高层次的关于极限相关内容的学习做好充分的认知储备。

[参 考 文 献]

[1]波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，2011.

[2]中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（2011年）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]周淮水等.在初中二年级试教代数“极限”部分的实验研究[J]，心理学报，1960（4）.

[4]李士錡.熟能生巧吗[J].数学教育学报，1996（5）.

[5]奥苏贝尔.教育心理学-学与教的原理[M].上海：上海教育出版社，1983.

[6]维果茨基.维果茨基儿童心理与教育论著选[M].杭州：杭州大学出版社，1999.

（责任编辑：张华伟）

（一）极限思想为某些教学难点的处理开辟了途径

极限思想的方法往往是建立变量，并且首先确定它的一连串越来越准确的近似值，通过考察这一连串近似值的趋向，把变量的准确值确定下来。这就意味着学生可从分析简单情况入手，在此过程中通过“观察”、“计算”、“推测”，发现其中规律，获得必要结论，这就为教学中处理某些难点开辟了途径。如特殊角的三角函数值是教学中的一个难点，教学中往往直接给出结论，缺乏必要的“过程”和“理由”，学生理解较为困难。

这里若是借助极限思想加以解决，则可帮助学生突破这一难点。（如图3）在Rt△ABC中，∠C为直角，设BC=a，AC=b，则cos∠A=■，则当BC逐渐缩短，即原∠A不断缩小时，如图4所示，有cos∠BnAC=■，易知当BC不断缩短，即原∠A不断缩小为0°时，cos∠BnAC=■的值越来越靠近1，由此我们可规定cos0°=1，仿照类似过程，利用极限思想的方法，我们还可得到0°或90°的其他三角函数值。

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学生常在教学难点上产生理解障碍，这种情况主要发生在教学中知识脉络的不连续处，或是一个特殊知识系列的起点处。在这些地方，学生学习所需的已有知识（即认知结构中有紧密关系的知识点）同新知识的关联比较薄弱或者根本不存在，就容易引起学习问题和认知空缺。而极限思想通过探究某一变量的变化趋势对问题加以分析和解决，依托极限思想的“过程性”优势，使得问题探究变得“循序渐进，由浅入深”，这就意味着学生的新知学习同已有知识储备间容易建立必要的联系，客观上为理解“难点”突破了认知上的障碍。如圆切线性质中关于“圆的切线和圆有且仅有一个交点”就是一个教学难点，但此问题若是仿照前文所述，借助极限思想对圆切线的定义作“过程性”探究，则容易突破这一教学难点。

（二）极限思想为进一步学习某些知识难点作铺垫

作为中学阶段最基本和最重要的一类数学思想，极限思想除具有一般数学思想具有的教育作用和意义外，更由于其特有的分析处理问题的方法，凸显其在培养学生方面所具有的“特殊”价值和意义。

《课标》积极倡导遵循学生学习数学的心理规律，提供给学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的[9]，这反映到学生培养上就是将传统的知识传授型转变为能力培养型，在注重传统“双基”的达成的同时，更加注重知识的生成过程，毕竟，“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么[10]”。极限思想在探究问题方面特有的“过程性”，意味着学生在运用极限思想进行某些新知学习时，可借助已有认知储备，主动建构自己的新知识。如前文所述在运用极限思想探寻特殊角（如0°或90°）的三角函数值的过程中，学生就可利用前面所学的勾股定理、三角形相似性质、锐角三角函数等相关知识开展对问题的自主探究，这对培养学生的数学学习兴趣，形成严密的推理能力都是大有裨益的.

维果茨基（Lev Vygotsky）认为，好的学习内容更应当是“发展性”的，即内容安排、问题设置应处于学生的“最近发展区”（zone of proximal development），应着眼于学生未来的教育和发展。由此，初中数学教学不应当以学生发展的昨天，而应当以学生发展的明天为方向，只有这样，数学才能在教学过程中激励那些目前尚处于“最近发展区内”的学生，为培养进一步学习所需的辩证思考、逻辑推理能力打下基础。在笔者看来，初中阶段对极限思想作必要渗透不只是为顺利衔接高中阶段极限及与之相关知识如（导数的学习）作铺垫，也是为更深层次的数学学习做好准备。

解决上述问题的关键在于学生具有必要的认知铺垫和知识基础。事实上，在我们初中阶段就可尝试通过极限思想的渗透加以实施。例如在求代数式■（n取自然数）的值的教学中，不拘泥于求n为某具体数值时代数式的值，而是通盘考虑，将极限思想的“过程化”贯穿其中，引导学生探究n取一般自然数时代数式的取值情况，当学生发现■在n不断增大的情况下其值不断接近■时，可转而引导学生考虑n为何值时，■与■差值的绝对值小于某个具体数值（如■），再深入下去，■与■差值的绝对值小于任意正数n时的取值又是怎样的？这一渗透处于学生初中发展阶段中的“最近发展区”（zone of proximal development），属于虽不能独立但可以在教师帮助下进行学习的内容；同时，这一过程亦是和现在不少大学教学中先让学生计算某一具体？着和N，逐步将难点与心理结构中相关内容加以联系，一段时日后再综合成以？着-N为语言的定义理解的以分散难点为原理的教学方式一脉相承的.这样，通过在初中阶段渗透极限相关的思想方法，层层铺垫，就为培养学生学习更高层次的内容做好认知铺垫和准备。

四、感悟

有鉴于此，笔者认为，在初中阶段应充分挖掘教材，结合已有知识内容，创设利于学生开展操作活动和反省抽象的问题情境，对现行教材中有所涉及但还未作必要安排的极限思想加以渗透。这一过程符合初中阶段学生的认知特点，有助于学生养成严谨的学习习惯，丰富学生的认知思维策略，提升他们解决问题的能力，也为将来顺利开展更高层次的关于极限相关内容的学习做好充分的认知储备。

[参 考 文 献]

[1]波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，2011.

[2]中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（2011年）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]周淮水等.在初中二年级试教代数“极限”部分的实验研究[J]，心理学报，1960（4）.

[4]李士錡.熟能生巧吗[J].数学教育学报，1996（5）.

[5]奥苏贝尔.教育心理学-学与教的原理[M].上海：上海教育出版社，1983.

[6]维果茨基.维果茨基儿童心理与教育论著选[M].杭州：杭州大学出版社，1999.

（责任编辑：张华伟）