数学归纳法的应用

曹彩霞

摘 要：数学归纳法是一种重要的证明方法.数学归纳法有两个联系紧密、缺一不可的步骤，前一步是推理的基础，后一步是推理的依据.

关键词：数学归纳法；假设；猜想

数学归纳法是一种重要的证明方法，在证明问题中往往具有意想不到的效果.但是，掌握好数学归纳法需要理解证明中的环环相扣的两步走.

一、数学归纳法在证明等式问题中的应用

例1.请利用数学归纳法证明：1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■.

解：（1）当n=1时，左边=1-■=■=右边，命题成立.

（2）假设n=k时，命题成立，即1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■，那么1-■+■-■+…+■-■+■-■=■+■+…+■+■-■=■+■+…+■+■+（■-■）=■+■+…+■+■+■.

这说明当n=k+1时命题也成立.

由（1）（2）可知命题对一切正整数都成立.

评析：关键在于n=k变为n=k+1时等式变化是什么，等式增加多少项它们是什么.题中n=k时，原式=1-■+■-■+…+■-■，当n=k+1时，式子就变为1-■+■-■+…+■-■+■-■.

二、数学归纳法在证明不等式问题中的应用

例2.求证：■+■+…+■>1

分析：证明n=1成立时，不等式左侧为■+■+■，不是一项.利用假设n=k时不等式成立来证明n=k+1时不等式也成立，必须用到归纳假设，继而进行恰当的放縮.

解：（1）当n=1时，左边=■+■+■=■=■>1，不等式成立.

（2）假设n=k时命题成立，即■+■+…+■>1，

则当n=k+1时，■+■+…+■+■+■+■=（■+■+…+■）+■+■+■-■>1+[■+■-■]=1+■-■=1+■-■>1.

这就是说，当n=k+1时，不等式成立.

由（1）（2）知原不等式成立.

规律总结：关键点在于从k到k+1时项数的变化，跨度较大，注意到分母是相邻的自然数，理应为■+■+■，有三项之多，同时也要关注到式子中的第一项同样发生了变化.

三、先归纳后猜想再证明

例3.已知a1=■，且Sn=n2an（n∈N*）.

（1）求a2，a3，a4.

（2）猜想出数列{an}的通项公式，并利用数学归纳法进行证明.

分析：已知Sn求an的问题，可以通过题型特点直接求出递推公式an+1=■an，再进行证明.用数学归纳法证明时重点关注好n=k和n=k+1两者之间的关联性，用好an+1=■an的纽带作用.

解：∵Sn=n2an，∴an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2an+1-n2an，∴an+1=■an，

∴（1）a2=■，a3=■，a4=■.

（2）猜想出an=■.利用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，命题显然成立.

②假设当n=k时命题成立，即有ak=■.则当n=k+1时，ak+1=■ak=■×■=■.故当n=k+1时命题也成立.综上所述，对于任意的n∈N*，都有an=■.

四、错误辨析

例4.用数学归纳法证明：6能整除n3+5n（n∈N*）.

错误解：（1）当n=1时，n3+5n=6，6能被6整除，结论显然成立.

（2）假设n=k时结论成立，即k3+5k能被6整除.

那么（k+1）3+5（k+1）=[（k+1）3-（k-1）]+6（k+1）=（k+1）[（k+1）2-1]+6（k+1）=（k+1）（k+2）k+6（k+1）.

因为k，k+1，k+2是相邻的三个整数，三个中肯定有一个能被3整除，三个中肯定至少有一个能被2整除，所以6能整除k（k+1）（k+2）+6（k+1）.故n=k+1时，结论也成立.

评析：本题证明法看起来很完美，其实仔细观察我们发现，在证明过程中没有按照数学归纳法的两大步骤来完成.

数学归纳法是高中重要的一种证明方法，一般情况分两大步—三结论的模式来证明问题.数学归纳法有两个联系紧密、缺一不可的步骤，前一步是推理的基础，后一步是推理的依据，少前一步就缺少推理的基础，后一步中的假设就失去了成立的基石，少后一步，就缺少了推理的依据，问题的普遍性得不到呈现。所以，数学归纳法其实是环环相扣的两环.

参考文献：

张瑞峡.数学归纳法的理论基础.科教文汇，2011（21）.

？誗编辑 张珍珍