一元函数与多元函数相关概念的类比

李 娜，张艳敏，王 洁

(商丘工学院 基础教学部，河南 商丘 476000)

1 邻域定义

1.1 点x0的δ邻域

设x0与δ是两个实数，且δ>0，数集{x|x0-δ

其中x0叫该邻域的中心，δ叫该邻域的半径[1]6-9.

1.2 点P0的δ邻域

设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点，δ>0为一实数，以P0(x0,y0)为圆心，以δ为半径的圆的内部

Dδ(P0)={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}称为点P0的δ邻域.

点x0的δ邻域指数轴上一个数集，以x0为中心，以δ为半径的某一开区间；点P0的δ邻域指平面上一个点集，以P0(x0,y0)为圆心，以δ为半径的圆的内部.

2 函数定义

2.1 一元函数的定义

设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x),x∈D,

其中，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为函数的定义域[1]6-9.

2.2 二元函数的定义

设D是xOy平面上的一个点集，若对D中任意点(x,y)，按照某一确定的对应法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称变量z是x,y的二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D,

其中，x和y称为自变量，z称为因变量，点集D称为函数的定义域.

与一元函数相比，二元函数有两个自变量，形式上更复杂一些，但定义域D和对应法则f仍是二元函数的两个决定性要素.

3 极限定义

3.1 x→x0时一元函数的极限

设函数f(x)在x0的某空心邻域内有定义，A为常数.若对任意给定的ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，恒有

|f(x)-A|<ε

则称当x→x0时函数f(x)的极限为A，记为

3.2 二元函数的极限

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，A为常数.若对任意给定的ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ，0<|y-y0|<δ时，恒有

|f(x,y)-A|<ε

则称当P(x,y)→P0(x0,y0)时函数f(x,y)的以A为极限[2]244-246，记作

函数的极限是研究当自变量在无限变化状态下函数的变化趋势.一元函数的极限思想学生容易接受，二元函数相对复杂一些，因此在讲授二元函数极限时，应结合一元函数的极限，找出二者的相似之处——二者都是描述当自变量趋于某一定点时，函数值无限趋近一个常数的变化状态.

4 导数与偏导数定义

导数研究函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率，具体来讲就是当自变量改变量趋于零时，函数改变量与自变量改变量之比的极限.与一元函数的导数类似，二元函数的偏导数同样可以从以下三个方面来理解：

a.求函数的增量；b.求函数增量与自变量增量的比值；c.求两增量比值的极限[3]28-33.

二元函数含有两个自变量，使得自变量与因变量的关系比一元函数要复杂的多.在研究二元函数的因变量对自变量的变化率时，最基本的方法是分别讨论因变量对每一个自变量的变化率，其思想与一元函数导数思想相似.

5 定积分与二重积分定义

对于定积分的定义，结合曲边梯形面积求解思路：“分割，近似代替，求和，取极限”来理解.二重积分的定义结合曲顶柱体的体积来理解，求解思路和曲边梯形面积求解思路一样，仍然是“分割，近似代替，求和，取极限”.

通过以上概念的类比，进一步强化了概念之间的内在联系，使学生从整体上更好的理解相关概念，形成完整的知识结构体系，从而提高学生分析问题，解决问题的能力.结合作者教学经验来看，如果在实际教学中能适时把相关概念加以类比，就可以使学生对所学概念及其之间的联系有更深入的理解与认识.在学习多元函数微积分时，尤其是二元函数的相关概念，结合一元函数的相关概念来讲授，使学生在思想上容易接受.

[1] 吴赣昌.微积分(经管类·第四版)[M].北京：中国人民大学出版社，2006.

[2] 龚德恩，范培华.微积分(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3] 马建珍.论《数学分析》课程的整合[J].邢台学院学报，2013(2).