广义P-平坦性和广义P-内射性的一些刻画

王修建,杜先能

(1.皖西学院 应用数学学院,安徽 六安 237012;2.安徽大学 数学科学学院,合肥 230600)

1 GP-内射环、 GPP-环和GPF-环

定义1[1]如果R作为左R-模是GP-内射的,则称环R为左GP-内射环.

定理1对于环R,下述结论等价：1)R是左GP-内射环;2) 对任意的a∈R,存在正整数n,使得anR=rRlR(an);3) 对任意的a,b∈R,如果lR(an)⊆lR(bn),则bnR⊆anR;4) 对任意的a,b∈R,存在一正整数n,使得rR(Rbn∩lR(an))=rR(bn)+anR.

证明: 1)⟺2)显然.

2)⟹3).如果lR(an)⊆lR(bn),则bn⊆rRlR(an),故由2)知bn∈anR,因此bnR⊆anR.

3)⟹4).对于任意的a,b∈R,rR(Rbn∩lR(an))⊇rR(bn)+anR显然.反之,如果x∈rR(Rbn∩lR(an)),则Rbn∩lR(an)⊆lR(x);如果y∈lR(bnan),则ybnan=0,因此ybn∈lR(an),即ybn∈Rbn∩lR(an)⊆lR(x),从而y∈lR(bnx)(即证lR(bnan)⊆lR(bnx)).由3)知存在r∈R,使得bnx=bnanr,因此x-anr∈rR(bn),即证x∈rR(bn)+anR.又由x的任意性知,rR(Rbn∩lR(an))⊆rR(bn)+anR.

4)⟹2).令b=1即可证结论.

定义2[1]如果对于任意的a∈R,存在一个正整数n(依赖于a),使得Ran是投射的,则称环R为左GPP-环;如果对于任意的a∈R,存在一个正整数n(依赖于a),使得Ran是平坦的,则称环R为左GPF-环.显然,左GPF环是左GPP-环和左PF-环的推广.

定理2对于环R,下述结论等价：1)R为左GPP环； 2) 任意GP-内射左R-模的商模是GP-内射的； 3) 任意P-内射左R-模的商模是GP-内射的； 4) 任意内射左R-模的商模是GP-内射的； 5) 对于任意的左R-模M,都有E(M)/M是GP-内射的,其中E(M)为M的内射包.

证明: 1)⟹2).设M是任意GP-内射左R-模且N为M的一个子模,下证M/N是GP-内射的.事实上,设a∈R,则由1)知存在正整数n,使得Ran是投射的.令i:Ran→R是嵌入映射,π:M→M/N是典范映射,则对任意映射f:Ran→M/N,都有映射g:Ran→M,使得πg=f.既然M是GP-内射的,因此存在h:R→M,使得hi=g,所以(πh)i=f,即M/N是GP-内射的.

2)⟹3),3)⟹4)和4)⟹5)显然.4)⟹1)参见文献[1]中定理3.2.

5)⟹4).对任意的左R-模M,设L→M→0是正合列,其中L是内射的,则存在一个正合列0→M′→L→M→0,因为L是内射左R-模,所以0→E(M′)→L是正合的,从而可得L=E(M′)⊕L′,其中L′是内射左R-模.于是可得

M≅L/M′≅(E(M′)⊕L′)/M′≅E(M′)/M′⊕L′.

由5)知E(M′)/M′是GP-内射的,而L′是内射的,从而为P-内射的,故由文献[1]中命题2.3知M是GP-内射的,即任意内射左R-模的商模都是GP-内射的.

定理3设R是环,下述结论等价：1)R是左GPF-环； 2) P-平坦右R-模的任一子模都是GP-平坦的； 3) 投射右R-模的任一子模都是GP-平坦的.

证明：1)⟹2)由文献[1]中定理3.1即得.2)⟹3)显然.

下面记GPI表示所有GP-内射左R-模组成的类.

定义3设K为GP-内射左R-模,若对任意GP-内射左R-模K′和任意同态ψ:K′→M,总存在同态f:K′→K,使得φf=ψ,则称同态φ:K→M为M的GPI-预覆盖.如果K的满足φf=φ的自同态f是同构,则称φ:K→M为M的GPI-覆盖.

定理4设R为环,且满足GP-内射模的直和仍为GP-内射模,则下述结论等价：1)R为左GPP环； 2) 任一左R-模M有一个单的GPI-覆盖φ:K→M； 3) 任一GP-内射左R-模M的商模有一个单的GPI-覆盖.

证明：1)⟹2).假设M是任意的左R-模,记

K=∑{N≤M|N∈GPI},L= ⊕{N≤M|N∈GPI},

则存在0→H→L→K→0是正合的,因为L仍为GP-内射的,因此由定理2知K也为GP-内射的,下证嵌入映射l:K→M是M的一个GPI-覆盖.设K′是GP-内射左R-模,ψ:K′→M是任意的左R-模同态,则易知ψ(K′)≤K.定义φ:K′→K,φ(x)=ψ(x),x∈K′,则有lφ=ψ,因而l:K→M是M的一个GPI-预覆盖.进一步,易证使得l=fl成立的同态f:K→K是K的恒等映射IK且是唯一的,因此2)成立.

2)⟹3)显然.

3)⟹1).设M是任意的GP-内射左R-模且N是M的一个子模,下证M/N是GP-内射的.事实上,存在内射模E,使得0→N→E→L→0是正合的,且记E→L的同态映射为g.由3)知L有一个单的GPI-覆盖φ:F→L,则有同态h:E→F,使得g=φh,因此φ是满的,从而φ是同构的,进而L是GP-内射的.对任意的a∈R,有

2 GP-内射维数和GP-平坦维数

定义4设R为环,左R-模M的GP-内射维数记为GP-id(M),定义为

∀a∈R},

其中m为非负整数.若m不存在,则记为GP-id(M)=∞.环R的左GP-内射整体维数记为l.GP-iD(R)=sup{GP-id(M)|M为任意左R-模}.

注11) 任给左R-模M是GP-内射的当且仅当GP-id(M)=0;2) 环R为π-正则环当且仅当l.GP-iD(R)=0.

定义5设R为环,右R-模M的GP-平坦维数记为GP-fd(M),定义为

∀a∈R},

其中m为非负整数.若m不存在,则记为GP-fd(M)=∞.环R的右GP-弱维数记为r.GP-fD(R)=sup{GP-fd(M)|M为任意右R-模}.

注21) 任给右R-模M是GP-平坦的当且仅当GP-fd(M)=0;2) 环R为π-正则环当且仅当r.GP-fD(R)=0;3) 一般地,r.GP-fD(R)≤l.GP-iD(R).事实上,假设l.GP-iD(R)=m<∞,设M∈Mod-R,则对任意的a∈R,存在一正整数k≤m,使得

定义6左R-模M的一个GP-内射分解为如下形式的正合列: 0→M→M0→M1→…,其中Mi均为GP-内射左R-模.

类似可定义右R-模M的一个GP-平坦分解.

定理5设R是环,M为一右R-模,则GP-fd(M)=GP-id(M+).

定理6设R是左P-凝聚环,M为一左R-模,则GP-id(M)=GP-fd(M+).

假设GP-fd(M+)=m<∞,则对任意的a∈R,存在n∈+,使得

定理7设R是左P-凝聚环,则r.GP-fD(R)=l.GP-iD(R).

证明：先设r.GP-fD(R)=m≤∞,则对任意的左R-模M,由定理6知GP-id(M)=GP-fd(M+)≤m,因此l.GP-iD(R)≤r.GP-fD(R).反之,设l.GP-iD(R)=n≤∞,则对任意的右R-模N,由定理5知GP-fd(N)=GP-id(N+)≤n,因此r.GP-fD(R)≤l.GP-iD(R).

定理8设0→L→M→N→0是右R-模短正合列,则下述结论成立:

1) 如果r.GP-fd(M)

2) 如果r.GP-fd(M)>r.GP-fd(N),则r.GP-fd(L)=r.GP-fd(M).

证明：对于任意的a∈R,由长正合列引理得

对于左R-模的GP-内射维数可得类似结论.

定理9设0→L→M→N→0是左R-模短正合列,则下述结论成立:

1) 如果l.GP-id(M)

2) 如果l.GP-id(M)>l.GP-id(N),则l.GP-id(L)=l.GP-id(M).

定理10对于任意的左R-模M及a∈R,l.GP-id(M)≤m当且仅当存在M的一个GP-内射分解0→M→M0→M1→…→Mm→0.

证明：对于任意的左R-模M及a∈R,设l.GP-id(M)≤m.取M的一个GP-内射分解:

记该分解的第m-1个上合冲为Lm-1=Imfm-1,考虑短正合列0→Imfi→Mi→Imfi+1→0,对于任意的a∈R,则序列

0→M→M0→M1→…→Mm-1→Lm→0.

类似于定理10可证:

定理11对于任意的右R-模N及a∈R,r.GP-fd(N)≤m当且仅当存在N的一个GP-平坦分解0→Nm→…→N1→N0→N→0.

证明：1)⟹2).由r.GP-fd(N)≤m可知,N有一个GP-平坦分解:

0→Nm→…→N1→N0→N→0.

3)⟹1).设…→Nm→…→N1→N0→N→0是N的一个GP-平坦分解,令Km-1是它的第m-1个合冲,则0→Km-1→Nm-1→…→N1→N0→N→0正合,由3)知Km-1也是GP-平坦模,所以r.GP-fd(N)≤m.

对于GP-内射维数,有类似结论.

推论3设R是环,下述结论等价：1) 每个GP-平坦右R-模是平坦的； 2) 对任意的右R-模M,GP-fd(M)=fd(M).

证明：1)⟹2).设M是任意的右R-模,由每个平坦模右R-模都是GP-平坦模易知GP-fd(M)≤fd(M),下证fd(M)≤GP-fd(M).当GP-fd(M)=∞时,该不等式显然成立.现设GP-fd(M)=m,则由定理11知M有一个长度为m的GP-平坦分解,由于每个GP-平坦右R-模都是平坦的,故fd(M)≤n=GP-fd(M),因此GP-fd(M)=fd(M).

2)⟹1)显然.

推论4设R是环且每个GP-平坦右R-模是平坦模,则r.wd(R)=r.GP-fd(R),其中r.wd(R)表示环R的右弱维数.

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