透过现象看本质

南江翊

马上是上午的第四节课，我的肚子有点饿了，可一想到这节是数学课，我的劲头十足.开始上课了，老师出了一道这样的题.

如图1所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=_____.

分析：初看此题，最先想到的是连接BC，用整体思想来证.

解：连接BC ，如图2.

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A =180°-50°=130°.

∵∠B=40°，∠C=30°，即∠B+∠C=70°，

∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠B-∠C=130°-70°=60° .

而∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-60°=120°.

班上有许多同学都是这样解的，大家感觉这道题目并不难.此时，有些同学仍在小声地议论着，说他们也解出来了，不过是用其他的方法，老师听了很高兴，让他们把自己的方法都分享出来，于是又出现了其他的6种方法.

方法二

解：作EB//DG//CF，如图3 .

∵EB//DG，

∴∠BAD=∠EBA .

∵DG//CF，

∴∠DAC=∠ACF .（两直线平行，内错角相等）

∵∠A=∠BAD+∠DAC=50°，

∴∠EBA+∠ACF=50°.

又∵EB//DG，

∴∠EBD=∠1 .

∵DG//CF，

∴∠DCF=∠2 .

∵∠1+∠2=∠BDC，

∴∠EBA+∠ABD+∠ACD+∠ACF=∠BDC，

即∠EBA+∠ACF+∠B+∠C=∠BDC .

∴∠BDC=50°+40°+30°=120°.

紧接着出现了第三种解法：

方法三

解：作EF//DG//AC，如图4 .

∵EF//AC，

∴∠A=∠ABE .

∵DG//AC，

∴∠C=∠CDG .

（两直线平行，内错角相等）

∵EF//DG，

∴∠EBD=∠BDG .

（两直线平行，内错角相等）

∠EBD=∠ABE+∠B ，

即∠EBD=∠A+∠B=90°.

又∵∠BDC=∠BDG+∠CDG，

∴∠BDC=∠EBD+∠C=90°+30°=120°.

方法四

解：作AE//BD，AF//DC，连接AD并延长到G，如图5 .

∵AE//BD，

∴∠B=∠EAB，∠EAG=∠BDG.

∵AF//DC，

∴∠C=∠CAF，∠FAG=∠CDG.

∴∠EAF=∠FAG+∠EAG=∠BDG+∠CDG

=∠BDC.

∴∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠CAF =∠B+∠C+∠A=120°.

∴∠BDC=120°（等量代换） .

方法五

解：作DE//AB，DF//AC ，延长ED交AC于G，如图6.

∵DE//AB，

∴∠B=∠BDE .

∵DF//AC，

∴∠C=∠CDF .

（两直线平行，内错角相等）

∵DE//AB，

∴∠A=∠EGC .

∵DF//AC，

∴∠EGC=∠EDF .

（两直线平行，同位角相等）

∴∠A=∠EDF .

∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=∠BDC，

即∠A+∠B+∠C=∠BDC，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C =120°.（等量代换）

除了以上方法外，我们可以用周角知识来做.

方法六

解：连接AD ，如图7.

∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=∠A+∠B+∠C=120° .①

∠A+∠B+∠C+∠ADB+∠ADC=180°×2=360°.②

②-①，∠ADB+∠ADC=240°.

∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°，（周角定义）

∴∠BDC=360°-∠ADB-∠ADC=360°-240°=120° .

方法七

解：延长BD交AC于F ，如图8.

∠A+∠B=∠DFC（三角形任一个外角等于不相邻的两个内角和），

∴∠DFC=∠A+∠B=90°.

∵∠C+∠DFC+∠FDC=180°，

且∠C=30°，∠DFC=90°.

∴∠FDC=180°-∠C-∠DFC=180°-30°-90°=60° .

∵∠FDC+∠BDC=180° （邻补角互补），

∴∠BDC=180°-∠FDC=120°.

正在大家对今天这节课这样一道题能得到如此多的方法感到兴奋不已的时候，老师却说，你们还没有真正领悟到本题的本质.

老师说：“这个图形象圆规一样，有些地方把它称之为规形.”它的数学本质是一个凹四边形，这种凹四边形有一个非常重要的性质，也就是我们上面证明的：∠BDC=∠A+∠B+∠C.这道题最简单的方法就是利用外角性质，延长AD作射线AM.

方法八

解：如图9，连接AD并延长.则∠BDM=∠B+∠BAD，①

∠CDM=∠C+∠CAD. ②

由①+②可得∠BDC=∠A+∠B+∠C=120°.

老师接着说：“这么简单的方法你们怎么没有想到呢？用了这么多种方法来解决这样一个简单的问题.说明了什么呢？

说明了我们对于上一节课讲的外角的性质定理（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）还没有掌握清楚.我们回避了这么简单的方法，而用平行线和三角形内角和的知识将角进行转化.

我们知道，三角形内角和等于180度这个内角和定理，是由平行线的性质定理证明得到的，而一个外角等于与它不相邻的两个内角和又是由三角形内角和定理推导而来的.我们发现以上八种方法中，方法一、方法六用的是三角形内角和定理；方法二三四五用的是平行线的性质；方法七、方法八用的是外角的性质.其本质都是为了转化角.由于这三个定理的相通性，大家是不是发现其本质是一致的呢？

本来认为我们这节课通过充分地讨论，积极地思考提供了那么多的好的方法，原来还是在对数学问题的本质的认识上有距离.听了老师的话，我们觉得以后做题不能只是想用各种不同的方法，也要想一想为什么会有不同的方法，哪种方法是最好的.

[后记]老师的话：在学生找出了多种解题方法而兴奋的时候，却说他们没有领悟数学的本质，的确有点打击他们.但是，数学是一门科学，解题是具有非常强的指向性的.透过现象看数学题的本质有助于培养学生思维的敏锐性和逻辑性.对学生建立完善的人格和思维品格具有非常重要的作用，所以这样的习题课一定要“收”，而不能过度去“放”.

（指导老师：王宇刚）