论圆锥曲线中几组有趣的姊妹圆

廖星星

摘 要：圆锥曲线中一些动态定值问题的研究成果，不断出现在各种报纸杂志上，并且一些性质的应用或探究还经常出现在各种训练题、考试题中。

关键词：圆锥曲线；双曲线；圆

教学之余，笔者研究发现了与圆锥曲线为载体的几组有趣姊妹圆的定值问题。

现简要介绍如下：

性质1：以圆锥曲线的焦点弦AB为直径的圆M与圆锥曲线

准线L的位置关系。

当圆锥曲线是椭圆时，直线L与圆M相离；

当圆锥曲线是双曲线时，直线L与圆M相交；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与圆M相切。

证明：设弦的端点A、B在准线L上的射影分别为A1、B1，AB的中点M在准线L上的射影为N，则圆M的半径r=■AB，于是，MN=■AA1+BB1=■■+■=■·r

当曲线是椭圆时，0r，即圆M与准线相离；

当曲线是双曲线时，e>1，∴MN

当曲线是抛物线时，e=1，∴MN=r，即圆M与准线相切。

性质2：已知圆锥曲线焦点弦AB的端点A、B在准线L上的

射影分别为A1B1，则以线段A1B1为直径的圆M与直线AB的位置

关系。

当圆锥曲线是椭圆时，圆M与直线AB相离；

当圆锥曲线是双曲线时，圆M与直线AB相交；

当圆锥曲线是抛物线时，圆M与直线AB相切。

证明：作MN⊥AB于N，则S■=S■+S■+S■，由面积公式得■AA1+BB1·2r=■AA1·r+■BB1·r+■AB·MN，化简得MN=■·r

当曲线是椭圆时，0r，圆M与准线相离；当曲线是双曲线时，e>1，MN

e=1，MN=r，圆M与准线相切。

性质3：1.设椭圆■+■=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上异于顶点的任意一点，圆M是△PF1F2的旁切圆（即圆M与F1F2、F1P的延长线和线段F2P都相切或圆M与F2F1、F2P和线段都相切），则圆心M的轨迹方程是x=a（y≠0）或x=-a（y≠0）。

证明：设圆M与F1F2、F1P的延长线及线段F2P的切点分别为A、B、C，M（x，y），则F1C=F1A=x+c，F2A=x-c

又F1C=F1P+PC=PF1+PB=PF1+PF2=2a-F2A

∴x+c=2a-（x-c），即x=a（y≠0）

同理可证另一种情形。

2.设双曲线■-■=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线右支上异于顶点的任意一点，则△PF1F2的内切圆M轨迹方程是x=a（y≠0）；若P是双曲线左支上异于顶点的任意一点，则△PF1F2的内切圆心M轨迹方程是x=-a（y≠0）；

证明：设圆M与F1F2、F1P、F2P相切于点A、B、C，则当P是双曲线右支上时，PF1-PF2=2a？圯F1C-F2B=2a？圯F1A-F2A=2a。

又F1A+F2A=2c，∴F1A=c+a，F2A=c-a，∴点A为双曲线的右顶点，即△PF1F2的内切圆心M轨迹方程是x=a（y≠0）

当P是双曲线左支上时，同理可证△PF1F2的内切圆心M轨迹方程是x=-a（y≠0）；

性质4：1.设椭圆■+■=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上异于顶点的任意一点，M是△PF1F2的内切圆圆心，直线

PM交直线F1F2于Q，则■=e，（e为椭圆离心率）

证明：因为M为△PF1F2内心，所以F1M，F2M分别是∠PF1F2，∠PF2F1的角平分线，由角平分线性质得■=■=■，于是■=■=■=e

2.设双曲线■-■=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上异于顶点的任意一点，M为△PF1F2的旁切圆圆心，直线PM交直线F1F2于Q，则■=e（e为双曲线离心率）

证明：因为M为△PF1F2的旁切圆圆心，所以F1M，F2M分别是

∠PF1Q，∠PF2Q的角平分线，由角平分线性质得■=■=■，于是■=■=■=e

略举以下两例应用：

例1.过双曲线■-■=1的右焦点F作倾斜角为30°的直线L交双曲线于A、B两点，P为右准线上一点，使∠APB=■的点P

（ ）

A.不存在 B.有1个 C.有2个 D.有无数个

解析：原问题就是判定以弦AB为直径的圆与准线的交点个

数。根据性质1，以AB为直径的圆与准线相交，故满足条件的P点有2个。

例2.△ABC的顶点为A（-5，0），B（5，0），△ABC的内切圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（ ）

A.■-■=1 B.■-■=1

C.■-■=1（x>3） D.■-■=1（x>4）

解析：由性质3.2知，顶点C在双曲线的右支上，否定答案A、B，又因为△ABC的内切圆心应在直线x=a上，所以，a=3，故正确答案为C。

（作者单位 湖北省宜昌市远安县第一高级中学）