反射三角形探究——对一道九年级数学期末抽测题的探究

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(温岭中学实验学校 浙江温岭 317500)

反射三角形探究——对一道九年级数学期末抽测题的探究

●朱军辉陈贞辉

(温岭中学实验学校 浙江温岭 317500)

浙江省温岭市2012学年第一学期期末数学质量抽测九年级的第21题引起了很多教师的关注.笔者对此题也作了一些思考，现将想法呈现如下，以和同行共同商讨．

1 试题再现

题目如图1，点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC,CA上，若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，则称△DEF为△ABC的反射三角形．

图1 图2 图3

(1)如图2，等边△ABC的3条边的中点分别是D,E,F，请判断△DEF是不是△ABC的反射三角形？答：________(填写“是”或“不是”).

(2)如图3，点A,B,C分别在△DEF的3条边上，I是△DEF内一点，且IA⊥DF，IB⊥DE，IC⊥EF，依次联结点A，B，C.若⊙I是△ABC的内切圆,求证：△ABC是△DEF的反射三角形.

(3)判断下列3个命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)：

命题1 锐角三角形有反射三角形.

( )

命题2 锐角三角形的反射三角形是锐角三角形.

( )

命题3 钝角三角形没有反射三角形.

( )

2 试题探究

2．1 命题意图

2．1．1 考查试题类型

从近几年的台州市数学中考试卷以及全国其他省市的数学中考试卷看，出现了较多的新概念型(新学习型)试题．所谓“新概念型问题”，是指问题中的概念、运算、符号等，是学生在初中数学中没有学过的，要求学生通过自主阅读、自主操作等方式进行即时学习，然后结合已有知识、能力进行运算、推理、迁移的一种题型．总之，这类题目对数学感知、数学表征、数学抽象概括、数学推理计算等数学认知水平进行了全面的考查．

2．1．2 考查知识内容

本题主要考查的知识内容有：三角形的内角和定理、角平分线的意义、三角形内心的性质、垂线的性质、三角形中位线的性质等．此题属于稍难题，难度系数为0.5～0.8．

2．1．3 考查基本图形

基本图形来源于人教版九年级上册《数学作业本2》第25页“直线与圆的位置关系(三)”的第2题．

2．1．4 考查数学方法

转化方法、类比猜想等．

2．2 试题解答

由反射三角形的定义,知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.因为

∠1+∠3+∠A=180°，∠2+∠5+∠C=180°，

∠4+∠6+∠B=180°，∠A+∠B+∠C=180°，

所以 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，

∠1+∠3+∠5=180°，

从而

∠A=∠5=∠6，

同理可得 ∠1=∠2=∠B，∠3=∠4=∠C，

故

同理可得

2．3 试题拓展

2．3．1 反射三角形的形状

0°<∠A<90°，0°<∠B<90°，0°<∠C<90°,

故△ABC是锐角三角形.即只有锐角三角形才有反射三角形，直角三角形与钝角三角形都没有反射三角形．因此,得到如下一些结论：

(1)当锐角△ABC是等腰三角形时，反射△DEF是等腰三角形；

(2)当锐角△ABC中有一个角等于45°时，反射△DEF是直角三角形；

(3)当锐角△ABC中每一个角都大于45°且小于90°时，反射△DEF是锐角三角形；

(4)当锐角△ABC中有一个角小于45°时，反射△DEF是钝角三角形．

2．3．2 反射三角形的画法探究

探究1为了让学生能探究出一个锐角三角形的反射三角形的画法，结合图1教师可事先铺设2个问题进行探究：(1)求证：△ADF∽△ACB；(2)在锐角△ABC中，已知AB=4，BC=6，AC=5，你能求出线段AF的长吗？

事实上，根据试题解答的探究过程，得∠1=∠B，又因为∠A=∠A,所以

△ADF∽△ACB，

从而

即AD·AB=AF·AC,

(1)

同理可得BD·BA=BE·BC,

(2)

CE·CB=CF·CA.

(3)

式(1)+式(2)，得

AB2=AF·AC+BE·BC,

(4)

由式(3)，得

CB2-BE·BC=AC2-AF·AC,

从而AC2-CB2=AF·AC-BE·BC.

(5)

式(4)+式(5)，得

AB2+AC2-CB2=2AF·AC.

将AB=4，BC=6，AC=5代入,即得AF=0.5．这仅说明了点F是AC边上的一个定点，那么点F是怎样的一个特殊点呢？由余弦定理得

AB2+AC2-CB2=2AB·AC·cosA，

从而AF=AB·cosA.联想锐角三角函数的定义，学生会想到过点B作BG⊥AC于点G，则AG=AB·cosA，从而可得点F与点G重合，进而可得反射三角形的3个顶点D,E,F应是锐角三角形的3条高的3个垂足，这样就得到了一个锐角三角形的反射三角形的画法．

以上是教师探究时的思维过程，但由于涉及到余弦定理，在初中范围内属于超纲内容，那么有没有不超纲的其他方法能证明点D,E,F是锐角△ABC中3条高的垂足呢？

探究2在图4中，同样根据试题解答的探究过程,得∠1=∠ABC.因为

∠DAF=∠CAB，

所以

△ADF∽△ACB，

从而

联结BF,CD，则△ACD∽△ABE，从而

∠ACD=∠ABF.

再联结AE，同理可得

∠BAE=∠BCD，∠CBF=∠CAE.

为表述方便，不妨记∠ACD=∠ABF=x，∠BAE=∠BCD=y，∠CBF=∠CAE=z，根据△ABC的内角和等于180°,知

2x+2y+2z=180°，

即

x+y+z=90°，

从而AE⊥BC，BF⊥AC，CD⊥AB.这样就得到了反射三角形的3个顶点D，E，F是锐角△ABC中3条高的3个垂足．

图4 图5

探究3考虑学生平时所积累的基本知识和经验，在试题讲评时，可按如下的问题串对学生铺设思维台阶进行画法探究，以达到学生对数学感知能力的要求．

如图5，已知BF⊥AC于点F，CD⊥AB于点D．

(1)求证：AD·AB=AF·AC；

(2)联结DF，BC，求证：∠ADF=∠ACB，∠AFD=∠ABC；

(3)设CD与BF交于点I，联结AI并延长AI交BC于点E，则AE与BC有何位置关系？再联结ED,EF，由第(1)小题与第(2)小题你可以得出哪些结论？

结合以上的画法探究，可进一步解答以下问题：

如图6，已知CD,AF,BE分别是钝角△ABC的3条高，∠ACB是钝角，联结DE,EF,FD，求证：点C是△DEF的内心．

图6 图7

2．3．3 反射三角形的周长探究

点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA上的动点，如图3，不妨称△DEF为△ABC的滑动三角形.如果∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，则称△DEF为△ABC的反射三角形，同时称点D，E，F分别为AB,BC,AC边上的反射点，则△ABC的所有滑动三角形中反射三角形的周长最小且为定值．

事实上，如图7，设△DEF是△ABC的任意一个滑动三角形，作点F关于直线AB的对称点F1，联结EF1交AB于点D1，联结D1F,DF,DF1，则DF=DF1，D1F=D1F1，D1是AB边上的反射点，此时△DEF的周长大于△D1EF的周长.因此，当点D,E,F分别为AB,BC,AC边上的反射点时，△DEF是△ABC的一个反射三角形且其周长是△ABC所有滑动三角形中周长最小的一个，△DEF的周长为BC·cosA+AC·cosB+AB·cosC(定值)．

3 教学思考

3．1 试卷讲评

一堂试卷讲评课不能以试卷上试题评价的终结而结束．教师除了要求学生做好试题的订正、错题原因的分析外，还要针对学生在考试中暴露出来的有代表性的共性问题，精心设计一些相应的逆思路题或变式题让学生再练习、再提高．同时对试题中出现的有些题目可进行深层次的挖掘和开发，共同探讨命题者的思路、可能变化的方向，让学生心中有数．

3．2 教师解题

作为一名数学教师，在平时的教学过程中离不开解题，但更重要的是要做好解题研究，熟悉各种基本常规题型和各种解题策略、方法．教师通过解题，才能融合各种资源，才能够在教学过程中做到精选习题和例题，才能够在分析试题时精心设计好为学生解决难题的脚手架，才能够让学生跳一跳能摘到果子，体验成功的乐趣．

3．3 课本作业本资源

从中考数学试题的导向功能来看，命题者都会对区域内所使用的教材和作业给予高度关注:试题中的基础类题目，很多都是课本上的例题、习题经过适当的变化而来的；一些中、低难度的综合解答题也是教材中的例题、习题经过交汇、融合而成；即使有些压轴题也不例外．例如，2012年台州市中考数学卷的第23题就是改编于教材中的习题；第24题以“距离”这一几何概念为出发点，引进了2条线段之间距离这一新概念，同时这一概念与两点之间的距离、点到直线的距离、2条平行线之间的距离等概念交汇融合，使原本单薄的数学概念变得厚重、充实．因此，在数学课堂教学特别是在中考复习中，用好课本资源，深化课本资源，有效地对例习题进行改编等是提高课堂效率的重要保证．只有教师自身真正触及数学问题的本质，才能引领学生深入理解问题；只有教师自己登高望远，才能使学生在浩瀚的题海中，举重若轻，才能“会当凌绝顶，一览众山小”．

[1] 吴增生．坚持标准 关注本质 引领教学[J]．中学教研(数学)，2013(1)：45-47.

[2] 许雷波．对数学教师解题研究的思考[J]．中学数学研究，2013(2)：6-8.

[3] 姜克安．深化课本资源 提高课堂效率[J]．上海中学数学，2013(1/2)：66-68.