一个不等式的加强与探究

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(临泽县第一中学 甘肃临泽 734200)

一个不等式的加强与探究

●魏正清

(临泽县第一中学 甘肃临泽 734200)

文献[1]中给出了这样一个推广不等式：

已知变量a,b,c为正数，且p,q,r，λ,μ为正常数，求证：

事实上，当p=1，q=2，r=8时，不等式(1)即为

正数大于负数，这是一个毫无意义的不等式.为此，可寻求不等式(1)的加强形式.

为叙述方便，将文献[1]中的解答简要摘录如下：

(pa+qb+rc)2≥k(ab+bc+ca),

即

p2a2+[(2pq-k)b+(2pr-k)c]a+r2c2+(2qr-k)bc≥0

恒成立，因此

Δa=[(2pq-k)b+(2pr-k)c]2-4p2[q2b2+r2c2-(2qr-k)bc]≤0

恒成立，即

(2)

恒成立.

当k=4pq时，式(2)即(q-p-r)b+(q-r)c≤0.而当q-p-r>0时，此式不恒成立，因此k≠4pq，故式(2)恒成立，当且仅当k-4pq<0且

(3)

即

k≤(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

于是

k-4pq≤-(p+q-r)2≤0.

又k≠4pq，得k-4pq<0,从而式(2)恒成立的充要条件是

k≤(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

故

式(1)得证.

于是可将不等式(1)加强为：

定理1已知变量a,b,c为正数，且p,q,r,λ，μ为正常数，p≤q≤r.求证：

(5)

(6)

而式(6)成立，只需

不妨设p≤q≤r，则当p+q≤r时，易得

2p(q+r-p)≥4pq≥(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

从而式(7)成立，即k<4pq,当p+q≥r时，易得

4pq≥2p(q+r-p)≥(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

从而式(7)成立，即

k≤2p(q+r-p),

因此可将不等式(7)进一步加强为：

定理2已知变量a,b,c为正数，且p,q,r,λ，μ为正常数，p≤q≤r.求证：

[1] 邹生书.一个不等式的另证及推广[J].中学教研(数学)，2013(1)：33-35.