巧用函数的性质和图像速解、智解数学题

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(青田县教育局 浙江青田 323900)

巧用函数的性质和图像速解、智解数学题

●高歌

(青田县教育局 浙江青田 323900)

考试是“对”、“错”的较量，“快”、“慢”的竞技．在考试规定的时间内，又“对”又“快”地完成考题、选准答案，实现单位时间内答题成功的最大效应，是我们孜孜以求的愿望和永恒不变的追求！在数学高考坚定不移地坚持“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立“以能力立意命题”的指导思想，着力实现“多想少算”的思想理念，在“考基础、考能力、考智慧”等方面下功夫，将“知识、能力和素质”融为一体.在全面检测考生数学综合素养的大背景下，如何提高数学解题方法的多样性、灵活性与变通性，提升解题的技术能力与策略水平，显得尤为重要！

笔者认为，在日常教学中，教师应当在掌握“数学基本知识、基本技能和基本思想方法以及通性通法”的基础上，注重解题技能的训练，数学解题要力求“强攻”和“轻取”并举、“通法”和“巧法”并重，着力优化算理算法，不断提升解题技法．教师不仅要“会算，会少算，会巧算、简算、估算”，也要“会速算，会心算，会智算”，乃至“会不算”就能破解数学问题，以致使数学解题步入“对而快，快而对”的艺术境界．本文简单地阐述如何以超然的视角与独到的眼光，巧妙运用函数的性质特点与图像特征，迅速求解数学考题，从而大幅提高数学解题的“速度”与“效率”．

1 巧用函数定义域，速解与智解数学考题

“函数的定义域”是函数的重要组成部分，是构成函数的2个基本条件之一(另一个基本条件是函数的“对应法则”)，是函数的“三要素”之一．一些函数的定义域有着明显的性质特征，如：由于奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，因此奇、偶函数的定义域必定关于原点对称；由于函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)在同一直角坐标系中的图像关于直线y=x对称，因此反函数y=f-1(x)的定义域就是其原函数y=f(x)的值域等等．一旦明白了奇、偶函数的定义域以及互为反函数的性质特征，便能“一举破解”乃至“一眼望穿”与之相关的数学考题．

( )

(2011年辽宁省数学高考文科试题)

分析本题主要考查奇函数的定义以及相应的变换运算、灵活运用能力．一般的解法是运用奇函数的定义，即：由函数f(x)为奇函数，知f(-x)=-f(x)对定义域内所有的x恒成立，从而

即-x(2x+1)(x-a)=-x(-2x+1)(-x-a)，

2 巧用函数的值域，速解与智解数学考题

“函数的值域”也是构成函数的“三要素”之一．事实上，函数的定义域和对应法则(即构成函数的2个基本条件)一经确定，函数的值域也就随之确定．对于有些题型(如选择题)，若能巧妙地利用函数的值域，只要“简算”(“估算”)，不要“详算”(“精算”)；只要“动脑”(“心算”)，不要“动手”(“笔算”)，便能快速而准确地找到正确答案．

( )

(2010年全国数学高考课标卷理科试题)

分析本题主要考查三角恒等变换中倍角公式的灵活运用、同角三角函数关系等知识以及相应的运算能力.若用“算到底”的思路求解，可能会采用以下4种解法.

故

从而

速解与智解1因为α是第三象限的角，则

图1

3 巧用函数奇偶性，速解与智解数学考题

函数的奇偶性是函数的重要性质之一，其特点是奇偶性函数的图像具有某种整体对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．在这些对称性中隐含着重要的数学结论，巧妙运用奇、偶函数的这些对称性及其蕴含的重要结论，往往可以使许多复杂的求解变得简单．

例3设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则{x|f(x-2)>0}=

( )

A．{x|x<-2或x>4} B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<-2或x>2}

(2010年全国数学高考课标卷理科试题)

分析本题主要考查偶函数的性质、不等式的解法以及相应的运算能力.直接求解可能采用以下2种解法.

解法1当x<0时，-x>0，得

f(x)=f(-x)=-x3-8，

于是

则

令f(x-2)>0，得x>4或x<0.故选B.

解法2当x≥2时，

f(x)=x3-8>0,

解得

x>2.

因为f(x)是偶函数，所以当x∈R时，f(x)>0的解集为{x|x<-2或x>2}.又因为函数f(x)向右平移2个单位就得到函数f(x-2)，所以f(x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.故选B．

实际上本题并不需要这样一步一步来求解，利用偶函数的对称性就可以一步到位．

速解与智解由于偶函数f(x)的图像关于y轴对称，则不等式f(x)>0的解集也关于y轴对称，因此不等式f(x-2)>0的解集关于直线x=2对称，据此只能选择B．

4 巧用函数单调性，速解与智解数学考题

“函数的单调性”是函数的又一个重要性质，函数的单调性直观地呈现出函数图像增减变化的特点．有效地运用函数的单调性，可以快速地比较函数值的大小关系．尤其值得注意的是，利用函数的单调性可以把复杂的不等式求解、不等式证明以及比较大小等问题“转化”与“化归”为较简单的不等问题来处理．

例4如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ)，θ∈[0,2π),那么θ的取值范围是______．

(2011年全国高中数学联赛试题)

分析本题一般的求解方法是先“移项”，得

cos5θ-sin5θ+7(cos3θ-sin3θ)<0，

再对左边式子“因式分解”来处理．但依据高中学生的知识基础，对左边式子的因式分解有一定的难度(即使能分解，其过程也相当复杂).但如果通过适当的变形，发现其为某一函数的变换，利用其单调性便可轻松破解．

速解与智解由已知,得

cos5θ+7cos3θ

5 巧用函数的图像，速解与智解数学考题

“函数的图像”是函数性质的直观体现，其最大的作用是让我们清晰地看到了函数的具体变化情况．在平常解决数学问题时，要注意把“数量关系”与“图形图像”联系起来，要注重对函数图像的把握与运用，从而使问题变得更加直观．事实上，“数形结合，以形助数”是一种极其重要的思想方法，更是一种重要的解题策略，利用函数的图像往往使有关问题的求解变得“直观而清晰、自然而便捷”．

( )

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

(2010年天津市数学高考理科试题)

分析本题主要考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性、对数的基本运算等基础知识，并考查分类讨论的数学思想．其一般的求解是用“分类讨论”的方法：

当a>0时，由f(a)>f(-a),得

即

则

解得

a>1.

当a<0时，由f(a)>f(-a),得

即

则

解得

-1

故选C.

若先画出该分段函数的图像，由函数图像的直观性，答案便立竿见影(还可以用“特殊值法”)．

图2

速解与智解利用“数形结合”的思想，先画出函数的图像(如图2)，则函数的内部结构及变换特征便“一览无余”，由图像便可选定C为正确答案.

“函数”是描述客观世界变化规律的重要数学模型，“函数的思想方法”贯穿在整个高中数学课程的始终，“函数内容”也是高考数学的重要组成部分，在每年高考中都占有相当大的比重．我们要善于巧妙利用函数的诸多性质及其图像特征，使之成为快速而有效破解有关数学问题的一把“利剑”！

[1] 蒋海瓯．关于试卷讲评的“点滴见解”[J]．中学数学教学参考:上旬，2012(5)：51-54．

[2] “2010年高考：数学答题中的优美解及典型失误”证文选登(二)[J]．中学数学教学参考:上旬，2010(8)：38-53．