2个竞赛不等式的统一证明

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(常熟市中学 江苏常熟 215500)

2个竞赛不等式的统一证明

●査正开

(常熟市中学 江苏常熟 215500)

2012年爱尔兰国家奥林匹克数学竞赛中有2个不等式证明题，应用常规的不等式证明方法处理均需一定的技巧，对实施新课程后的学生来说有较大的难度.为此笔者采用“函数法”(文献[1])给出它们统一的简洁证明，以便使广大学生能很好地掌握.

例1若x,y∈R+，则(x+y)5≥12xy(x3+y3)；并证明式中系数12是最佳的，即证明：对任意k>12都存在正实数x,y满足(x+y)5

(2012年爱尔兰国家数学奥林匹克竞赛试题)

x2+y2=4xy，

于是

(2012年爱尔兰国家数学奥林匹克竞赛试题)

当0b>0时，f′(a)≥0,从而当且仅当a=b时，f(a)取到最小值，即

当且仅当b=c时，上式等号成立，于是当且仅当a=b=c时，f(a)取到最小值0，因此

上述2个不等式均采用“函数法”理念，借助导数，通过讨论函数的单调性并求出最值完成对不等式的证明，这样可规避传统不等式证明中灵活多变的方法和高难技巧，使解题有明确的指向和固有的定式，思维流畅自然，很多复杂的不等式问题都迎刃而解，具有较广泛的适用性.这样处理不等式问题既适应新课程“降低不等式证明要求，强化函数(导数)的应用”的需求，又迎合“淡化特殊技巧，注重通性通法”的新高考理念，且符合学生的认知规律，能有效提高学生的思维能力和解题能力，激发学生的数学兴趣，促进数学的高效学习，值得在教学中加以推广和运用.

[1] 査正开.自主招生数学试题中用“函数法”求不等式问题[J].中学教研(数学),2012(9)：39-41.