对浙江省会考导引中一道错题的论证

● ●

(温州市第二十二中学 浙江温州 325000) (嘉兴市教育局 浙江嘉兴 314000)

对浙江省会考导引中一道错题的论证

●古征峰●曹鸿德

(温州市第二十二中学 浙江温州 325000) (嘉兴市教育局 浙江嘉兴 314000)

2013年浙江省会考导引中第7章“导数及其应用”B组的第10题原题如下：

例1已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，f(1)=0，当x>0时，xf′(x)+f(x)<0，则x2f(x)>0的解集为

( )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)

图1

答案为B，解法如下：

令h(x)=xf(x)，x∈R，易知h(x)为偶函数，当x>0时，h′(x)=xf′(x)+f(x)<0，知h(x)在(0,+∞)上单调递减，在(-∞,0)上单调递增，结合h(1)=1·f(1)=0，从而h(x)的图像如图1所示.由x2f(x)=xh(x)>0，得

解2个不等式，得x2f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选B．

很多教师的解答与上述解法一致，但笔者认为这是一道错题，理由是满足条件的f(x)并不存在，因为h(0)=0·f(0)=0(f(x)为R上奇函数)，h(1)=0，而且h(x)在点x=0处连续，因此由图像可知，在(0,1)上不可能单调，从而导致矛盾.但是这样的理由只借助了图像，不够严谨，下面将予以严格证明．在证明之前，首先了解可导函数的定义与几个定理：

可导函数的定义[1]若函数f(x)在区间I上每一点都可导(对区间端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称f(x)在I上的可导函数．

定理1[1]若函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0连续．

定理2[1]若函数u(x)和v(x)在点x0可导，则函数f(x)=u(x)·v(x)在点x0也可导，且f′(x0)=u′(x0)v(x0)+u(x0)v′(x0)．

其中U°(x0,δ)={x|0<|x-x0|<δ}，下同.

定理5同时满足下列条件的函数f(x)不存在．

(1)f(x)为定义在R上的奇函数，且f(1)=0；

(2)f(x)为R上的可导函数，且当x>0时，xf′(x)+f(x)<0

证明(反证法)假设存在这样的函数f(x)，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以

f(0)=0.

所以h(0)≥A>0．

而另一方面，因为h(x)=xf(x)在x=0上有定义，所以h(0)=0·f(0)=0，矛盾.因此，假设不成立，定理5成立．

建议将例1中f(x)的定义域改为(-∞,0)∪(0,+∞)，即：

例2 已知奇函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的可导函数，f(1)=0，当x>0时，xf′(x)+f(x)<0,则x2f(x)>0的解集为

( )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)

答案仍为B．满足题意的函数如

这一错题让笔者认识到作为一名高中数学教师，必须具备一定的研究高等数学的基本素养．

[1] 华东师范大学数学系．数学分析(上册)：3版[M]．北京：高等教育出版社，2001：49-95．