Hilbert空间中φ-强伪压缩映像的一个注记*

张树义， 宋晓光

(渤海大学 数理学院,辽宁 锦州 121013)

Hilbert空间中φ-强伪压缩映像的一个注记*

张树义， 宋晓光

(渤海大学 数理学院,辽宁 锦州 121013)

在cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)的条件下，在Hilbert空间中研究了一类未必连续,甚至未必有界的φ-强伪压缩映像的不动点的迭代序列逼近问题,获得了一个强收敛定理.

Hilbert空间;φ-强伪压缩映像;Mann迭代序列；不动点

0 引 言

关于φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近问题已在Hilbert空间或Banach空间并在映像具有Lipschitz或有界条件下进行了广泛研究，获得了一系列重要的成果[1-5].文献[2]对既非Lipschitz也非有界的φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近问题进行了研究，其结果为以下定理:

xn+1=(1-cn)xn+cnTxn,n≥1.

1 预备知识

设H为实Hilbert空间,K为H中非空凸子集,称映像T:K→K为φ-强伪压缩的,如果存在一个严格增加的函数φ:R+=[0,+∞)→R+,满足φ(0)=0,使得对∀x,y∈K,恒有

如果φ(t)=kt,k∈(0,1),则称相应的映像T为强伪压缩的;如果φ(t)=0,则称相应的映像T为伪压缩的.伪压缩映像的重要性在于它与增生算子之间的密切联系.记A=I-T,其中I:H→H为恒等映像,则T:K→K为伪压缩的(强伪压缩的,φ-强伪压缩的)当且仅当A:K→H是增生的(强增生的,φ-强增生的).

引理1[2]设H为实Hilbert空间,对于∀λ∈[0,1],∀x,y∈H,有

‖(1-λ)x+λy‖2=(1-λ)‖x‖2+λ‖y‖2-λ(1-λ)‖x-y‖2;

‖x+y‖2=‖x‖2+2〈y,x〉+‖y‖2.

2 主要结果

若cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)，则{xn}强收敛于T的唯一不动点x*.

证明 由式(1)易知T有唯一不动点x*.由式(2)与引理1得

将式(3)代入式(4)得

‖xn+1-x*‖2≤(1-cn)‖xn-x*‖2-2cn(1-cn)φ(‖xn-x*‖)‖xn-x*‖+

cn‖xn+1-x*‖2+c2n(1-cn)‖xn-Txn‖2.

(5)

将式(5)中的cn‖xn+1-x*‖2移项后并约去公因子1-cn得

‖xn-x*‖≥τ(1+‖xn-x*‖)≥τ,

得φ(‖xn-x*‖)≥φ(τ)，∀n≥1.由cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)知，∃n1>0，对∀n≥n1，有cn‖xn-Txn‖2<τφ(τ), 从而由式(6)知，对∀n≥n1,有

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-2cnφ(τ)τ+cnφ(τ)τ=‖xn-x*‖2-cnφ(τ)τ.

由此得

cnφ(τ)τ≤‖xn-x*‖2-‖xn+1-x*‖2.

进一步

‖xn1-x*‖2<∞.

由于

cn‖xn-Txn‖2→0,‖xn+1-xn‖2=cncn‖Txn-xn‖2→0(n→∞),

由式(6)有

[1]Chang S S,Cho Y J,Zhou H Y.Iterative methods for nonlinear operator equations on Banach spaces[M].New York:Nova Sci Publishers,2002.

[2]张明虎,周和月.Hilbert空间中φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近[J].河北师范大学学报:自然科学版,2006,30(5):516-521.

[3]谷峰.关于φ-伪压缩型映像的具误差的Ishikawa和Mann迭代过程的收敛性问题[J].数学年刊,2002,23A(1):49-54.

[4]张树义.Lipschitzφ-半压缩映像不动点的迭代逼近[J].鲁东大学学报:自然科学版,2007,23(1):14-18.

[5]宣渭峰,王元恒.双复合修正的Ishikawa迭代逼近非扩张映像不动点[J].浙江师范大学学报:自然科学版,2009，32(4):401-405.

(责任编辑 陶立方)

Anoteonφ-stronglypseudocontractivemappingsinHilbertspaces

ZHANG Shuyi, SONG Xiaoguang

(CollegeofMathematicsandPhysics，BohaiUniversity,JinzhouLiaoning121013,China)

Iteractive approximation problem of fixed points for a class ofφ-strongly pseudocontractive maps without continuity or even without boundedness in Hilbert space were studied under condtioncn‖xn-Txn‖2→0(n→∞), the strongly convergence theorem was established.

Hilbert space;φ-strongly pseudocontraction; Mann iterate sequence； fixed point

O177.91

A

1001-5051(2013)01-0028-03

2012-11-15

张树义(1960-)，男，辽宁锦州人，教授.研究方向：非线性泛函分析.