一类带有Hardy项和Sobolev-Hardy临界指数椭圆方程的非平凡解*

刘 震, 沈自飞

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

一类带有Hardy项和Sobolev-Hardy临界指数椭圆方程的非平凡解*

刘 震, 沈自飞

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

研究了一类带有Hardy项和Sobolev-Hardy临界指数的椭圆方程

通过运用变分方法和精确估计得到了非平凡解u∈D1,2(Ω)的存在性.其中:Ω⊂RN(N≥3)是一个有界光滑区域,0∈Ω,λ>0,μ∈R,0≤s<2.

Hardy不等式;Sobolev-Hardy临界指数;变分方法;非平凡解

0 引 言

近年来,许多学者考虑了方程

本文考虑以下方程:

式(4)中:Ω⊂RN(N≥3)是包含原点的有界光滑区域;λ为正参数;0≤s<2;μ∈R.因为当Ω是一个星型区域时,由Pohozaev等式可知,若q=2*,则方程(4)无非平凡解,故这里只考虑2

其中D1,2(Ω)={u∈L2*(Ω):|▽u|∈L2(Ω)},通过定义最佳Sobolev-Hardy常数

并找到了方程

的径向对称基态解

满足

式(7)中

类似于Aμ,s的定义,在空间D1,2(Ω)上定义常数

以下是本文的主要结果:

(h0)h(x)∈C(Ω)∩L∞(Ω);

1 引 理

首先,给出关于Hardy不等式和Sobolev-Hardy不等式的2个引理,它们将在定理的证明中起到很好的作用.

为了用变分方法解决问题(4),在D1,2(Ω)上定义方程(4)的能量泛函为

由引理1和引理2知，I(u)有定义且I∈C1(D1,2(Ω),R).一般地,称u∈D1,2(Ω)是问题(4)的一个弱解，如果对任意的φ∈D1,2(Ω),有

因此，方程(4)的弱解就是能量泛函I在D1,2(Ω)上的临界点.

接下来通过山路引理证明I满足局部Palais-Smale条件(简记(PS)c),从而得到I在D1,2(Ω)中的临界点,即方程(4)的弱解.

引理3假设条件(h0),(h1)成立,且0≤s<2,20,则I在D1,2(Ω)上满足山路引理几何条件.

证明 根据

由引理1可知,

由Sobolev-Hardy不等式可得

‖u‖2*(s).

(14)

因为20,使得I(u)≥ρ>0,∀u∈∂Bρ={u∈D1,2(Ω) | ‖u‖=ρ}.另一方面,对于∀u∈D1,2(Ω)，有

(15)

引理4当0≤s<2,λ>0,2

(17)

(18)

由Sobolev-Hardy不等式知,存在C3>0,使得

由Hardy不等式得

从而

接下来证明I在D1,2(Ω)中满足局部(PS)c条件.

证明 由引理3和引理4知I存在(PS)序列{un},且{un}在D1,2(Ω)中有界,从而存在一个收敛子列,不妨仍记为{un},当n→∞时,有

令υn=un-u,则由Brezis-Lieb引理[11]及Vitali′s定理有

由式(27)可令

(29)

接下来考虑函数:

由λ,tε>0可知,

从而得到

t0ε.

(38)

结合式(30)与式(31)得

进一步,根据条件(h2)有

(40)

引理6证毕.

2 定理1的证明

证明 由引理1～引理6即可证得定理1.

注1为了得到正解的存在性,可以在D1,2(Ω)中考虑

其中,u+:=max{u,0}.从而,I+∈C1(D1,2(Ω),R),且I+的临界点即为方程(4)的正解.

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(责任编辑 陶立方)

ExistenceofnontrivialsolutionsforaclassofellipticequationsinvolvingHardytermsandSobolev-Hardycriticalexponents

LIU Zhen, SHEN Zifei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was discussed a class of elliptic equations involving Hardy terms and Sobolev-Hardy critical exponents

The existence of nontrivial solutions was proved via variational methods and delicate estimates, whereΩ⊂RN(N≥3) was an bounded domain with smooth boundary and containing the origin 0,λ>0,μ∈R, 0≤s<2.

Hardy inequality; Sobolev-Hardy critical exponents; variational methods; nontrivial solutions

O175.25

A

1001-5051(2013)01-0045-09

2012-09-02

国家自然科学基金资助项目(10971194;11101374)

刘 震(1986-),男,浙江龙游人,硕士研究生.研究方向:非线性泛函分析.