向量变分原理

陈 红 英

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

向量变分原理

陈 红 英

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

证明了Ekeland形式的向量变分原理，其目标函数是被xiu扰动的单调半连续函数.

向量变分原理；拟度量空间；可数有续集；Ekeland 变分原理

众所周知，I.Ekeland[1，2]在1972年给出了带扰动的下半连续函数取严格极小值和下方有界的下半连续函数的近似值存在性的变分原理.其在非光滑分析、最优化理论、控制理论、向量均衡问题、偏微分方程及临界点理论中有着许多应用.因此，Ekeland 变分原理在向量值映射和极值映射的多种等价形式被证明[3-5].特别地，Y.X.Li[6]等在完备度量空间中研究了一般Ekeland ε-变分原理.L.J.Lin[7]在完备度量空间中证明了广义Ekeland 变分原理，并利用其推导出广义Caristi不动点定理.此处在完备的拟度量空间下，证明了Ekeland形式的向量变分原理.

1 预备知识

为了得到主要结果，首先引入下面的定义、定理和引理.

设X为非空集合.实值函数d：X×X→R+对任意的x，y，z∈X满足：(1)d(x，y)≥0；(2)d(x，y)=0当且仅当x=y；(3)d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)，则称d是X上的拟度量，(X，d)称为拟度量空间.

设X为非空集合，X×X：={(x1，x2)|x1，x2∈X}，s是X×X的一个非空子集.如果(x1，x2)∈s，记为x1sx2.现对s规定：(1)自反性：若对任意x∈X，有xsx；(2) 传递性：若对任意的x1，x2，x3∈X：x1sx2，x2sx3⟹x1sx3；(3) 反对称性：若对任意的x1，x2∈X：x1sx2，x2sx1⟹x1=x2.若xs*y，当且仅当存在X中的有限个元素x1，x2，…，xn∈X使得x=x1，x1sx2，…，xn-1sxn，xn=y，关系s*是关系s的传递闭包.显然，如果s具有传递性，则s=s*.

定义1[8]设s为非空集合X上的二元关系，X0⊂X是非空集合，元素x0∈X0称为X0关于关系s的最大元素(s-最大)，如果对每个x∈X0，x0sx⟹xsx0.这一类X0关于关系s的最大元素记为Max(X0，s).

当s为X上一个偏序关系，则定义1可改写为：x0∈X0是s-最大，如果对每个x∈X0，x0sx⟹x=x0.事实上，如果x0∈X0是s-最大，s又是一个偏序关系，满足传递性，则x0sx⟹xs*x0，所以存在有限个元素x1，x2，…，xn∈X使得x=x1，x1sx2，…，xn-1sxn，xn=x0，由s的传递性，xsx0；又s的反对称性，x=x0.

定义2[8]设集合X具有关系s⊂X×X，称X是关于s的可数有序集，如果对每个非空子集W⊆X，存在W上的一个良序μ，使得对任意v，w∈W，v≠w，

vμw⟹vs*w

蕴含W是至多可数.

定理1[9]设集合X是关于s⊂X×X的可数有序集，假如对任意序列(xi)⊂X，i∈N满足xisxi+1，存在一个子序列(xik)⊂(xi)，一个元素x∈X，使得对所有的k∈N，xiksx，则存在X的一个s*-最大元素.

由定理1可以直接得到下面引理.

引理1 设集合X是关于s⊂X×X的可数有序集，且s具有传递性，假如对任意序列(xi)⊂X，i∈N满足xisxi+1，存在一个子序列(xik)⊂(xi)，一个元素x∈X，使得对所有的k∈N，xiksx，则存在X的一个s-最大元素.

设X是拓扑向量空间，Y是局部凸空间，即Y是具有凸领域基的拓扑线性空间.K⊂Y是Y中的凸锥，对任意的x，y∈Y，定义

x≤Ky⟺y-x∈K

定义3[10]函数f：X→Y关与K在x∈X是单调半连续(msc)，如果对每个序列(xi)⊂X，xi→x，满足f(xi+1)≤Kf(xi)，i∈N，都有对i∈N，f(x)≤Kf(xi).称函数f：X→Y在X上单调半连续，如果f在每一点x∈X单调半连续.

函数f是K-有界的，如果存在Y的一个有界子集M，使得f(X)⊂K+M.

2 主要结果

下面的定理给出向量Ekeland变分原理.

证明设x∈X且A：={v∈X：(f(x)-K)∩(f(x)+d(x，v)D)≠∅}，r⊂X×X是一个二元关系，定义如下：对任意u，v∈X，urv⟺(f(u)-K)∩(f(v)+d(u，v)D)≠∅.

事实上，如果urv，vrw，则对某个适当的

kv∈K，dv∈D，f(u)=f(v)+kv+d(u，v)dv

(1)

kw∈K，dw∈D，f(v)=f(w)+kw+d(v，w)dw

(2)

将式(2)代入式(1)得：

(3)

如果d(u，v)+d(v，w)=0，则u=v=w，所以f(u)=f(w).

如果d(u，v)+d(v，w)≠0，因为D⊂K是凸集，则

所以d(u，v)dv+d(v，w)dw∈(d(u，v)+d(v，w))D.

又因为K⊂Y是Y中的闭凸锥，D⊂K，所以d(u，v)dv+d(v，w)dw∈d(u，v)D+K，由式(3)知，f(u)∈f(w)+d(u，w)+K.

综上所述：urv，vrw⟹urw，即关系r⊂X×X具有传递性.这个证明的主要步骤是运用定理1证明A具有r-最大元素.因为A={v∈X，xrv}，所以任意A的r-最大元素是X的r-最大元素.因为0∉cl(D+K)，对一些ε>0，任意d∈D，k∈K，存在y*∈Y*，使得

(y*，d)+(y*，k)>ε

所以，对任意k∈K，(y*，k)≥0且infd∈D(y*，d)>0.此外，如果urv，u≠v，则f(u)=f(v)+d(u，v)d+k，其中d∈D，k∈K，所以

(4)

下面证明A是关于r的可数有序集.

设∅≠W⊆A是A的任意子集，且在W上存在一个良序s满足：对任意u，v∈W，u≠v，usv⟹urv，所以对任意u，v∈W，u≠v，usv⟹urv⟹(y*，f(u))>(y*，f(v))，因此y*°f(W)⊂R是关系“>”的良序，y*°f(W)是至多可数的.

又因为y*°f(W)是W上的一一映射，所以W是至多可数的.

下证对任意序列(xn)⊂A，n∈N，xnrxn+1，存在x0∈A，对任意n∈N，xnrx0.

如果对一些m∈N，xm=xm+1=…，则上面结论显然成立.

xnrxn+1⟺f(xn)-f(xn+1)=kn+d(xn，xn+1)dn∈K，dn∈D，kn∈K

因为f是K-有界的，对任意的m∈N，有

由于X的完备性，(xn)收敛于X中的确定点x0.由f是单调半连续的，则f(xn)-f(x0)∈K.

(5)

由r的定义，对任意n∈N，m≥n，有

因为f(xm+1)-f(x0)∈K，有

当m→时，由K是闭的，式(5)成立.由定理1，存在r-最大元素A.

证明证明方法与定理2类似.

[1] EKELAND I.Sur les probemes variationnels[J]. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences-Series I，1972(275)：1057-1059

[2] EKELAND I.On the variational principle[J].Journal of Mathematical Analysis and Application，1974(47)：324-353

[3] FINET C. Variational principles in partially ordered Banach spaces [J].Nonlinear Convex Analysis，2001(2)：167-174

[4] FINET C，QUARTA L，TORESTLER C.Vector-valued variational principles[J].Nonlinear Analysis，2003(52)：197-218

[5] TAMMER C.A generalization of Ekeland’s variational principle[J].Optimization，1992(25)：129-141

[6] LI Y X，SHI SH ZH.A Generalization of Ekeland's ε-Variat-ional Principle and Its Borwein-Preiss Smooth Variant[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2000(246):308-319

[7] LIN L J，DU W S.Ekeland's variational principle，minimax theorems and existence of nonconvex equilibria in complete metric spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006(323)：360-370

[8] GOPFERT A.Variational methods in partially ordered spaces[M].Springer-Verlag，New York，2003

[9] GAJEK L, ZAGRODNY D.Countably orderable sets and their applications in optimization[J].Optimization，1992(26)：287-301

[10] GAJEK L, ZAGRODNY D .Weierstrass theorem for monotonically semic-ontinuous functions[J].Optimization，1994(29)：199-203

Vector Variational Principle

CHENHong-ying

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

The Ekeland-type vector variational principle is proved, and its objective function is monotone semi-continuous function by the perturbation by xiu.

vector variational principle；quasi-metric space；countably orderable set；Ekeland variational principle

1672-058X(2013)09-0014-04

2013-03-20；

2013-04-24.

陈红英(1988-)，女，重庆潼南人，硕士，从事最优化方法及应用研究.

O176

A

责任编辑：李翠薇