简谐振动和简谐波中相位的分析

王 星，张晓雁，郭雄飞

（1.河北北方学院理学院，河北 张家口 075000；2.张家口市第五中学，河北 张家口 075000；3.张家口市第十九中学，河北 张家口 075000）

1 引 言

简谐波是简谐振动在弹性介质中的传播。波源沿y方向振动，波在x轴上传播的平面简谐波方程为：

式 （1）描述了介质中各体元在各时刻的振动情形。当变量x取一定值x0时，方程只描述介质中x0处一个体元的简谐振动情况，式 （1）变为：

即为x0处体元的振动方程。

当变量t取一定值t0时，则方程所表达的是在这个特定时刻。介质中不同位置上各个体元的瞬时状态。式 （1）变为：

即为t0时刻的波形方程。

式 （2）和式 （3）的物理意义完全不一样，但数学形式上式 （2）表示y是t的函数。式 （3）表示y是x的函数，即两式的数学形式相同。接下来，我们将对以上两方程用同样的方法已知其方程画相应的图象和已知振动图线或波形图写相应的方程。

2 对振动方程和波形方程中相位的分析

振动方程 （2）中 “ωt＋Φ1”叫相位，且规定t＝0时的相位Φ1为初相［3］，相位是当振幅和圆频率一定时进一步决定简谐振动任意瞬时运动状态的物理量，因ω为波源的圆频率，由波源的本身性质决定［7，8］，ω为正值，时间变量从时间轴零点开始沿正方向取值，因此也为正值，所以相位中 “ωt”项永远为正。随着时间的增加相位不断变大，即ωt＋Φ1≥Φ1。

平面波传播时，若介质中体元均按余弦 （或正弦）规律运动，叫平面简谐波［4－6］。平面简谐横波的波形方程如式 （3）。我们不仿也规定波形方程 （3）中 “kx＋Φ2”也叫相位［2］，且记x＝0时Φ2为初相。其意义为当振幅与波数一定时进一步决定波的传播过程中某一时刻不同体元的位移分布情况的物理量；波数k为2π长度上波的数目，所以k为正值。式 （3）中的 “±kx”项为传播项，其意义为介质中某体元 （坐标为x）落后于波源的相位。当此项取 “＋”时，代表波源位于x＝0处且波沿x轴负向传播。因此x必取负值；当此项取 “－”时，代表波源位于x＝0处且波沿x轴正向传播［1］。此时x必为正值。因此 “±kx”项永远为负，所以随着｜x｜的增大相位 “±kx＋Φ2”不断变减小，即±kx＋Φ2≤Φ2。

3 结合相位对按余弦规律运动的物体的振动过程的具体分析

用余弦函数表示简谐振动方程如式 （2）或用余弦函数表示简谐横波的波形方程如式 （3）时。可得按余弦规律运动的物体的各物理量 （位移、速度及相位）在不同位置的对应情况如下：（这里对 （2）式和（3）式中的相位都用Φ表示）

当相位为π／2的奇数倍时，则物体的位移y＝0，且物体的运动速度为正向最大或负向最大。

当相位为π的的整数倍时，则物体的位移y＝±A，且物体的运动速度为零。

当相位为第一象限角，即0＜Φ＜π／2时，物体处于y轴正半轴且物体的运动速度为负。

当相位为第二象限角，即π／2＜Φ＜π时，物体处于y轴负半轴且物体的运动速度为负。

当相位为第三象限角，即π＜Φ＜3π／2时，物体处于y轴负半轴且物体的运动速度为正。

当相位为第四象限角，即3π／2＜Φ＜2π时，物体处于y轴正半轴且物体的运动速度为正。

4 由方程画图象

4.1 已知振动方程画振动图线

振幅可直接从方程中看出。

再从方程直接看该物体的初相Φ1是第几象限角，由以上分析可知该振动物体在t＝0时速度的正负情况，并由初相的余弦函数值确定曲线和y轴交点的坐标值。

已知振动图线即 “位移一时间”曲线上任意一点切线斜率的正负代表振动物体速度的正负。由以上分析已经确定了该振动物体在t＝0时速度的正负，即曲线过与y轴交点的斜率的正负已知，进而可确定曲线在与y轴交点处的弯曲方向。又余弦函数曲线具有连续性，可将图象顺接下去。

曲线与横轴交点 （或曲线最高点和最低点）对应时间值的确定方法如下：由振动方程相位的特点，相位是时间的函数，且每过T／4，相位增加π／2。再由ωt＋Φ1＝ψ（若确定曲线与横轴的交点即y＝0所对应的时间值则对应相位为π／2的奇数倍，若确定曲线最高点或最低点即y＝±A时所对应的时间值则对应相位为π的的整数倍。）。该式中只有t未知，从而能计算出曲线上某点对应的时间值。通过T＝2π／ω计算出周期，曲线上其它与横轴交点 （或曲线最高点和最低点对应）的时间值也能一一推算出来。

4.2 已知波形方程画波形图

振幅可直接从方程中看出。

再直接看x＝0处体元的相位Φ2是第几象限角，由相位分析可知出该体元的振动方向，并由相位角Φ2的余弦函数值确定曲线和y轴交点的坐标值。

由波的形成机理，波的传播过程中，介质中各体元间有力的相互作用，离波源近的体元依次带动离波源远的体元振动起来，即后面的体元有序地重复前面体元的振动形式。波形方程中传播项前的正负号代表了波的传播方向并由以上分析可知x＝0处体元的振动方向。即由波的传播方向和x＝0处体元的振动方向及波的形成机制可唯一确定波形曲线在与y轴交点处的弯曲方向。再由余弦函数曲线的连续性，将图象顺接下去。

曲线与横轴交点坐标 （或曲线最高点和最低点对应坐标值）的确定方法如下：由波形方程相位的特点，相位是x的函数，且振动每经过T／4，相位减少π／2。再由±kx＋Φ2＝α（若确定曲线与横轴的交点即y＝0所对应的坐标值则对应相位α为π／2的奇数倍，若确定曲线最高点或最低点即y＝±A时所对应的坐标值则对应相位α为π的整数倍。）。该式中只有x未知，从而能计算出曲线上某点对应的坐标值。通过λ＝2π／k计算出波长，曲线上其它与横轴交点 （或曲线最高点和最低点对应的坐标值）坐标值也能一一推算出来。

5 由图象写方程

5.1 已知振动图线写振动方程

振幅可以从振动图线中直接观察出来。

通过曲线和纵轴交点处的弯曲方向即得曲线过该点斜率的正负，从而能判断该振动物体在t＝0s时振动方向 （即速度正负）。曲线和纵轴交点的坐标值 （设为y0）已知。由公式cosΦ1＝y0／A和t＝0s时物体振动速度的正负便能唯一确定方程的初相Φ1。

ω的确定方法如下：设振动图线中给定的已知时间值为t0。再经相位分析 （相位是时间的函数，且每过T／4，相位增加π／2）得t0处所对应相位为β。通过等式ωt0＋Φ1＝β，此式只有ω未知，因此通过此式可算出ω。从而振动方程就唯一确定了。

5.2 已知波形图写波形方程

振幅可以从波形图中直接观察出来。

由波的形成机理，可以由波的传播方向和波形曲线在x＝0处的弯曲方向直接确定x＝0处体元的振动方向 （即速度方向）。曲线和纵轴交点的坐标值 （设为y1）已知。再由cosΦ2＝y1／A和x＝0处体元的振动方向便能唯一确定方程的相位Φ2。

λ的确定方法如下：设波形曲线中给定的已知坐标值为x0。再经相位分析 （相位是坐标的函数，且每过λ／4，相位减少π／2）得t0处所对应相位为γ。再通过等式kx0＋Φ2＝γ或-kx0＋Φ2＝γ，此式只有k未知，因此通过此式可算出波数k进而算出波长λ。从而波形方程就能唯一确定了。

6 结 论

本文对简谐振动 （或按余弦规律运动）和简谐横波波形方程中相位进行了详细具体的分析。对两个方程中相位的异同进行分析对照。同时应用相位分析并结合简谐振动 （或按余弦规律运动）本身的特性对已知方程如何画图象和已知图象如何写方程的问题作了详细分析。在以上操作过程中对相位进行最大程度的应用。相位在所有描述简谐振动和简谐波的物理量中是最抽象的，对其进行深入分析理解，比用其他方法进行以上具体操作来得更方便更快捷，也更有助于理解简谐振动和简谐波的实质。对日常教学和深入研究简谐振动 （或按余弦规律运动）和简谐波也很有帮助。

［1］田野，王秀清.关于简谐振动和简谐波的研究（Ⅰ）［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2005，21（02）：6-9.

［2］田野，王秀清，杨劭琨.关于简谐振动和简谐波的研究（Ⅱ）［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2005，21（03）：6-9.

［3］漆安慎，杜婵英.力学［M］.北京：高等教育出版社，1997：265.

［4］梁绍荣，管靖.基础物理学（第一版，上册）［M］.北京：高等教育出版社，2002：196-198.

［5］复旦大学物理学组编.物理学（第二版，下册）［M］.北京：高等教育出版社，1987：2-6.

［6］林先明.关于简谐运动定义的思考［J］.物理通报，2002，（12）：11-12.

［7］赖莉飞.浅析简谐振动初相位与三角函数的统一［J］.浙江万里学院学报，2008，21（02）：14-16.

［8］王正清.普通物理学力学［M］.北京：高等教育出版社，1990：280-320.