GM－ARIMA模型在大坝安全监测中的应用

冯龙龙 李 星 李晓晨 李 岩

（1.河海大学 水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，南京 210098；2.河海大学 水资源高效利用与工程安全国家工程研究中心，南京 210098；3.河海大学 水利水电学院，南京 210098）

大坝竣工蓄水后，由于受到水压力、扬压力、泥沙压力、温度荷载等各种因素的作用而产生变形.因此，对大坝变形进行实时监测，分析处理大坝的监测数据对保证大坝的安全运行是十分重要的.变形监测量的分析常用的方法有：统计模型，回归分析，灰色系统理论等.统计模型需要大量的观测数据，并且受到环境相关性影响的困扰［1］，回归分析由于未知因素的干扰使精度不高，灰色模型预测的实质就是用指数曲线拟合原始数据，其预测结果为一条较平滑的指数曲线［2］，因而对小样本监测数据的波动性不能体现出来，而ARIMA模型则可以弥补这一不足之处.因此，本文结合两者的优点，建立关于变形量GM－ARIMA模型，对大坝变形进行拟合与预测并讨论其精度.

1 灰色模型建模过程

灰色系统（简称GS系统）理论将随机变量当作一定范围内的灰色量，将随机过程当作一定时区内的灰色过程［3－4］，GS理论的关键就是建立灰色模型（Grey Models，简称GM）.将观测得到的无（弱）规律的时间序列利用灰色微分方程进行转化，使之成为有一定规律性的数据，进而建立灰色模型.通过灰色理论进行拟合与预测时，常用的模型是一阶灰色模型，即GM（1，1）模型.设有原始非负时间序列

有相应的1－AGO序列

记一阶微分方程为

则可建立灰色微分方程：

式中，z1（i）＝0.5x1（i）＋0.5x1（i－1），i＝2，3，…，n.

采用最小二乘法对参数b，u进行估计，然后解灰色微分方程式（4）可得相应灰色响应函数表达式为

将灰色响应函数进行离散，其表达式为

2 ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA（p，d，q）模型（差分自回归滑动平均模型），是指将非平稳的时间序列通过差分转换为平稳的时间序列，然后将因变量对它的滞后值以及随机误差的现值和滞后值进行回归所建立的模型，其基本思想是将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列.这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值.它的数学表达式如公示（7）所示［5］：

式中，φm（m＝1，2，…，p）是自回归模型的系数，θj（j＝1，2，…，q）是平均滑动模型的系数，p 为自回归阶数，q为滑动平均部分的阶数，at为白噪声序列.

在确定自回归阶数p和滑动阶数q的值时，主要有赤池信息量准则AIC和贝叶斯信息准则BIC.对同一个时间序列而言，利用AIC准则得到的p，q值比利用BIC得到的值要高，这就使得计算变得繁琐.鉴于此，本文在确定ARIMA模型的阶数时采用贝叶斯信息准则BIC，其数学表达式为

式中，k为参数的数量，n为观察数.式（8）表明贝叶斯信息准则BIC主要有两部分组成，一是参数的数量，随着阶数的增大而增大；二是模型的拟合情况［6］.增加自由参数的数目提高了拟合的优良性，BIC鼓励数据拟合的优良性，但是尽量避免出现过度拟合的情况.所以优先考虑的模型BIC值最小的一个.

3 GM－ARIMA组合模型

由灰色响应表达式（5）可得GM（1，1）的预测公式为

对GM（1，1）残差序列建立ARIMA模型

建立GM－ARIMA混合模型，其数学表达式为

4 实例应用

小湾水电站位于云南省大理州南涧县与临沧市凤庆县交界的澜沧江中游河段，总装机容量420万kW，年保证发电量190亿kW·h，总库容149亿m3，以发电为主兼有防洪、灌溉、拦沙及航运等综合利用的效益，是澜沧江中下游河段的“龙头水库”.小湾电站具有多年调节水资源的能力，是所有中下游梯级电站中最高的一座，大坝由混凝土双曲拱坝，坝后水垫塘及二道坝、左岸一条泄洪洞及右岸地下引水发电站组成，坝身设有泄洪表、中孔和放空底孔.本文以小湾坝顶某测点的径向位移（2012年7月1日到2012年8月3日观测的数据）为例，利用GM－ARIMA模型对监测数据进行拟合与预测，然后与传统的GM（1，1）灰色模型进行对比.表1为小湾拱坝坝顶径向位移的原始观测值，其中用前10个数据来拟合，后2个数据进行预测.

表1 坝顶径向位移的观测值

4.1 建立坝顶径向位移的GM（1，1）预测模型

通过最小二乘估计求得b＝－0.037 4，u＝52.456 5，由式（9）可知，GM（1，1）预测模型为

根据式（9）求得灰色模型的预测值，计算灰色预测的残差，对波动的残差序列进行一次差分，产生平稳的时间序列，建立 ARIMA（p，1，q）模型.ARIMA模型的阶次由贝叶斯信息准则BIC来确定，利用BIC计算出不同阶次下的BIC值见表2.由表2可知，ARIMA（2，1，1）模型对应的BIC值最小，其相应的精度就越高.

表2 不同阶次ARIMA模型的BIC值

对ARIMA（2，1，1）模型利用最小二乘法进行参数估计，求得对用ARIMA模型的表达式为

4.2 建立坝顶径向位移的GM－ARIMA组合模型

把灰色GM（1，1）模型与残差序列的ARIMA（2，1，1）模型组合起来就得到了坝顶位移的GM－ARIMA组合模型，如式（14）所示.

分别运用灰色模型GM（1，1）和GM－ARIMA组合模型对原始数据进行拟合，并计算相应的误差，拟合结果见表3.

表3 两种模型的拟合值与残差

分别利用GM（1，1）模型和GM－ARIMA组合模型对实测值展开预测，预测结果见表4.

表4 两种模型的预测值及其残差

将表3、表4计算所得两种模型的拟合数据和预测值与实测值进行比较，比较结果如图1所示.通过表3、表4以及图1可以得到：（1）就平均相对误差比较而言［7］，运用 GM－ARIMA组合模型拟合时，其平均相对误差为0.00790，比传统的GM（1，1）模型的平均相对误差0.01902要小；（2）就最大相对误差而言，GM－ARIMA组合模型的最大相对误差为0.02079，传统的GM（1，1）模型的最大相对误差为0.03552，GM－ARIMA组合模型的最大相对误差比传统的GM（1，1）模型要小；（3）两种模型进行短时间预测时，GM－ARIMA组合模型比传统的 GM（1，1）模型更接近于实测值.由此可见，GM－ARIMA组合模型在进行大坝安全监测的小样本数据处理时，其拟和和预测的精度要比传统的GM（1，1）模型高，预测的可靠性较强.

图1 两种模型的拟合值与实测值的比较

5 结 语

大坝蓄水后，在多重因素的作用下坝体监测数据容易出现小样本、波动性的特点，GM－ARIMA组合模型能够体现监测数据的这一特点.与传统GM（1，1）模型相比而言，GM－ARIMA组合模型的拟合与预测精度高，适用性较好.因此，在实际工程应用中，可以利用GM－ARIMA组合模型进行监测数据的拟合与预测.

［1］ 苏怀智，温志萍，吴中如.基于SVM理论的大坝安全预警模型研究［J］.应用基础与工程科学学报，2009，17（1）：40－48.

［2］ 张丽娟.基于GM－ARMA模型的中国粮食产量预测［J］.经营管理者，2011（18）：182.

［3］ 吴中如.水工建筑物安全监控理论及其应用［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］ 顾冲时，吴中如.大坝与坝基安全监控理论和方法及其应用［M］.南京：河海大学出版社，2006.

［5］ 魏武雄.时间序列分析－单变量和多变量方法［M］.2版.北京：中国人民大学出版社，2009.

［6］ 胡效雷，何祖威.基于GM－ARMA组合模型的年电力需求预测［J］.广东电力，2007，20（2）：10－13.

［7］ 吴邦彬，陈 兰，葛 萃.改进的非等间距 GM（1，1）模型在大坝沉降分析中的应用［J］.水电能源科学，2012，30（6）：95－97.