关于函数常表素数的问题

管训贵

（泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

1 引言及主要结论

用Gauss函数（又称取整函数）表示特殊的整数.Gödel，Escher和Bach.在合著的一本数学普及读物中，用递归方式定义了如下的数列

G（0）=0，G（n）=n-G（G（n-1）），n=1，2，3，…并向全世界征解该数列的通项公式.直到1986年，N.I.Fine[1]解决并得出其结论是：

后来，Lord Rayleigh用Gauss函数给出了又一个有趣的结论：设α，β为正无理数，且满足关系1，则an=[nα]，n=1，2，3，…；bn=[nβ]，n=1，2，3，…两两不相等，且恰好给出了全体正整数.

而用多项式函数表素数的问题，则是数论中最基础、最核心的内容之一，有许多重要问题与猜想至今尚未完全解决.

18世纪初，大数学家Euler等人就获得了常表素数的函数（fn）=n2-n+17（0≤n≤16），（fn）=n2-n+41（0≤n≤40），（fn）=n2-79n+1601（0≤n≤79）等等.

G.Kabinovitch证明了[2]：函数 （fn）=n2-n+m在0≤n≤m-1时常表素数的充要条件是虚二次域Q()的类数为1，这里d=1-4m.

R.Honsberger[3]在《素数的产生》一文中，介绍了产生素数的公式：函数

对正整数m和n，只取素数值，且取到所有的素数值，而每个奇素数正好各取一次.这一公式确实是人们梦寐以求的奇妙公式，它不仅只产生素数，而且能产生全部素数，甚至每个奇素数恰好各取一次，所以这个公式的出现，的确是一件值得庆贺的突破性的进展.

沈明刚[4]研究了函数f（n）=n2-n+p，他指出f（n）常表素数的实质是Z[θ]为主理想环，这里θ为f（x）=x2-x+p的一个根，从而完全确定当且仅当p=2，3，5，11，17，41时，f（n）对于0≤n≤p-1常表素数.

W.Fung和H.C.Williams[5]给出函数f（n）=47n2-1701n+10181在0≤n≤42时常表素数.随后，R.Ruby给出了函数f（n）=36n2-810n+2753在0≤n≤44时常表素数.

2000年，袁平之[6]证明了：若p为奇素数，则h（-8p）=2的充要条件是对任何适合gcd（a，2p）=1，0＜a＜p的整数a，2p+a2常表素数.此结论说明类数为2的二次域和函数常表素数之间有着深刻的内在联系.

本文给出用Gauss函数[x]常表素数的一个结果.即如下

定理 有一实数α存在，使得对任意正整数n，Gauss函数[αn]常表素数.

2 关键性引理

引理1（契比雪夫定理） 对任意实数x≥1，在区间[x，2x]上必有素数存在.

证明 参见文献[7].

引理2（单调有界定理） 任何有界的单调数列一定有极限.

证明 参见文献[8].

引理3 设θ＞0.55，则存在一个正整数N，当n＞N时，在区间[x，x+xθ]上存在素数.

证明 参见文献[9-10].

3 定理的证明

证法1 设m是不小于2的正整数，p1为给定的任意奇素数.由引理1知，有一素数pn+1满足

显然 pn+1+1≠mpn+1，否则 pn+1=mpn+1-1为合数.故

则由 pn＜logmpn+1＜logm（pn+1+1）＜pn+1知 un＜un+1＜vn+1＜vn.从而有

于是由引理2知，存在实数α和β，使得

又对所有正整数n有un＜vn，故un＜α≤β＜vn.令α0=α,α1=mα0,…,αn+1=mαn, 则 pn＜αn＜pn+1，即[αn]=pn常表素数.

证法2 设p1=3，pn为大于N的任一素数.取θ=0.6，由引理3知，有一素数pn+1满足

故由引理2知，存在实数A和B，使得

又对所有正整数n有un＜vn，故un＜A≤B＜vn，同时kn得即pn＜Akn≤Bkn＜pn+1.令 Akn=αn（或 Bkn=αn），则[αn]=pn常表素数.

定理得证.

[1]Fine N T.J of Mathematical Analysis and Applications[J].1986,113：185-187.

[2]Guy K.Unssolved Problems in Number Theory[M].Springer Verlay：New York,1994：1-55.

[3]Honsberger R.素数的产生[J].数学译林,1984,3（3）：1-5.

[4]沈明刚.n2-n+p常表素数的完全确定[J].科学通报,1987（11）：801-803.

[5]Fung W,Williams H C.Quadratic polynomials which have a high density of prime values[J].Math Comput,1990(3)：286-289.

[6]袁平之.方程xy+yz+zx=n的正整数解[J].数学学报,2000,43（3）：391-398.

[7]常庚哲,谢盛刚.数学竞赛中的函数[X][M].合肥：中国科学技术大学出版社,1989：82-86.

[8]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社,2000：46.

[9]Hardy H,Wright E M.The Theory of Numbers[M].New York：Oxford Univ Press,fourth edition,1960.

[10]Iwaniec H,Laborde M.p in short intervals[J].Ann Inst.Fourier(Grenoble),1981(31)：37-56.