一种构造任意4k阶保块和完美幻方的简便方法

2013-10-12 06:19王正元
关键词:幻方方阵方块

王正元

(中国石油天然气股份有限公司,北京 100007)

在一个4k阶幻方A=(aij)4k×4k中,若任意2×2连续方阵(简称二阶方块)中的4个元素之和均相等,则称幻方A为一个保二阶块和幻方,简称保块和幻方.文献[1]和[2]给出了构造任意4k阶保块和完美幻方的两组公式,但其不足之处是公式显得较为繁复,且对任一指定的4k阶,一组公式仅能构造出一个幻方.本文将给出一种简便的方法,既无需繁杂的计算,又能构造出一大批保块和完美幻方.

1 构造方法

首先,将0~(4k-1)的数按(0,4k-1),(1,4k-2),(2,4k-3)……的方式两两配对,共分为2k组,每组两数之和均为4k-1.然后,从其中任取k组,将这2k个数按任意顺序填入4k阶方阵的第一行奇数列的方格中;再将剩下的k组2k个数以任意顺序填入方阵第一行偶数列的方格中.然后,在每一列中,用所填数的互补数(即其所在数对中的另一数)与该数交替填满该列,得到方阵B.令

其中BT为方阵B的转置,E为4k阶单位方阵(其中每一个元素均为1),则A为4k阶保块和完美幻方,其中任意二阶方块中4个元素之和均为幻和的1/k.

以8阶为例说明一下构造的过程.首先,将0~7的数分为4组:(0,7),(1,6),(2,5),(3,4).从中任取2组,如(0,7),(3,4),将其中4个数以任意顺序填入8阶方阵第一行的奇数列,将剩余2组的4个数(1,6,2,5),以任意顺序填入方阵第一行的偶数列(见图1).

图1 B方阵首行Fig.1 The first line of square B

下一步,将已填数的互补数填入各列,使两数交替填满该列,得到方阵B(见图2).

计算A=8k*B+BT+E,得8阶方阵A(见图3).

可以验证方阵A为完美幻方,且是保块和的,其任意二阶方块中4个元素之和均为130,恰为8阶幻方幻和260的1/2.

图2 方阵BFig.2 Square B

图3 8阶保块和完美幻方Fig.3 8-order conserve square sum perfect magic square

2 方法的证明

首先证明,方阵B为一广义完全拉丁方,即其行、列及各泛对角线各元素之和均相等.

B方阵的行列和相等是显然的,因其各行之数均历遍0~(4k-1),和为2k(4k-1);每列由1个数对中的两个数填满,共重复2k次,而每个数对2数之和为4k-1,故其和亦为2k(4k-1).

下面证明方阵B的任一对角线(包括泛对角线)各数之和也等于2k(4k-1).先考察主对角线(从方阵左上角至右下角的对角线).记B=(bij)4k×4k,并记第一行各数分别为 a1,a2,a3,…,a4k;a1~a4k历遍0~(4k-1).根据构造法,易知:

其中j=1,2,…,2k.因此,主对角线各数之和为

再由构造法易知,在与主对角线平行的4k-1条泛对角线中,其中2k-1条上的各列之数与主对角线上该列之数对应相同,因而和也为2k(4k-1);而另2k条上各列之数为主对角线该列之数的互补数,则其和为:

对副对角线(从方阵左下角至右上角的对角线)及其平行的泛对角线进行同样的分析,也可得其和为2k(4k-1).故B的行、列、泛对角线各数之和均相等,B为一广义完全拉丁方.

下面证明 B 与 BT正交.若存在(bij,bji)=(bi’j’,bj’i’),按数偶相等的定义,有

若 aj≠aj',应有 aj=4k-1-aj',于是 aj+aj'=4k-1.这说明aj与aj'是互补数对中的两数,而根据构造法,必有j与j'奇偶性相同.

然而,若j与j'同为奇数,有

这使得ai=ai',从而有i=i'.同样的,若j和j'同为偶数,也必有i=i'.这时,bij=bi'j'=bij',根据构造法,B中同一行各数互异,则必有j=j',从而aj=aj'.矛盾.

因此,应有aj=aj',亦必有j=j'.此时,bij=bi'j'=bij',而根据构造法,必有i=i'.

综上,若存在(bij,bji)=(bi'j',bj'i'),则必有i=i',j=j'.说明B与BT正交.

根据众所周知的结论,B与BT为正交的广义完全拉丁方,则A=4k*B+BT+E为完美幻方.

最后,证明A的保块和性质.事实上,由构造法易知,A中任意二阶方块,对应B中二阶方块4数为ap,4k-1-ap,ap+1,4k-1-ap+1,对应BT中二阶方块4数为aq,4k-1-aq,aq+1,4k-1-aq+1,得A中任意二阶方块4数之和为:

因此A是保块和的.A的幻和为2k*[(4k)2+1],任意二阶方块4数之和为幻和的1/k.

证毕.

3 讨论

[1]李超.造任意4k阶保块和泛对角线幻方的一组公式[J].韶关学院学报:自然科学版,2006,27(12):1-5.

[2]李超.造任意4k阶保块和泛对角线幻方的又一组公式[J].韶关学院学报:自然科学版,2007,28(3):5-9.

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