浅谈数形结合思想在高中教学的意义

杨维兵

【摘要】本文拟通过对高中数学中函数、平面解析几何，立体几何的教学分析，对数形结合思想方法的作用进行初步探究。

【关键词】数形结合思想，函数、解析几何，向量、立体几何

【中图分类号】G424 【文献标识码】A 【文章编号】1006-5962（2013）06（b）-0132-01

新课标对高中数学教学基本要求，突出基本思想方法的教育，数形结合的思想方法，始终贯穿在数学的教育教学中。“数”和“形”是数学中两个最根本的概念，它们互立互补。一方面，每一个图形中都潜含着丰富的数量关系，另一方面，数量关系又常常可以通过图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，特别是引入直角坐标系，数形结合在教学中作用更是得到强化，成为高中数学教学的核心思想方法之一。在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路，或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。本文拟通过对高中数学中函数、平面解析几何、立体几何的教学分析，对数形结合思想方法的作用进行初步探究。

1、数形结合的思想方法是函数抽象概念理解的助推器

数形结合的思想方法在函数教学中的运用是对初中教学的发展和提高，是在初中的直角坐标系知识引入后得以实现的。高中教材中函数概念的重新定义和对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质的研究，以及对具体函数性质及其相关问题的研究，知识的抽象性和复杂性空前提高，教与学的难度加大。而根据自变量x与因变量f（x）组成的有序实数对（x，f（x））与平面内的点的对应关系，画出具体的函数图形辅助教学会使相关问题的研究变得直观而形象，再借助函数图形又会使学生对函数及其性质的理解变得更加深刻。如在函数对称性教学中：已知函数y=f（x），若f（a+x）=f（8-x），则函数y=f（x）图像关于直线x=a对称，对这一知识点的理解，学生感觉比较吃力，但在实际教学操作中，如果借助图像指出：从函数定义域中任取两个值x1、x2，若当x1、x2到直线x=a距离相等时，表现为xl=a+x、x2=a-x，对应的函数值有f（a+x）=f（a-x），即点（a+x，f（a+x））与点（a-x，f（amx））关于直线x=a对称，这样学生理解起来会简单的多。当然数形结合的思想方法还在其它具体函数问题上也广泛应用，如函数单调性的判断，求函数最值，求方程解的个数等。这需要在操作过程中抓住潜存的几何背景的数量关系，把数量关系转化为图形的性质问题来处理。

2、数形结合的思想方法是贯穿平面解析几何知识的核心思想方法。

平面解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，最根本的做法就是把平面的几何结构有系统的代数化、数量化。即在平面中建立直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立一一对应的关系，从而使平面内的一个曲线可以用带两个变量的一个方程表示，也就实现了曲线的“代数化”。这样，几何问题就可以用代数形式表示，在求解析几何问题时，就可以运用代数方法进行研究。因此，就可以在解析几何教学过程中，把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体形式，把有关图形性质的问题转化为数量问题，或把有关数量的问题转化为与图形性质有关的问题，使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，直观的问题深刻化，从而使问题得到迅速而正确有效的解决。在高中教材中的平面解析几何初步和圆锥曲线与方程两章的教学中，无不贯穿着数形结合思想方法。如对具体直线（或曲线），求轨迹方程及曲线性质的问题，就是实现了对图形的数量化，而由直线（或曲线）的方程产生的问题，解决策略往往需要同学们快速理解，正确的画出图形，根据图形来找出解决问题的方法。

3、向量解决立体几何问题是数形结合思想方法的完美体现。

在高中立体几何的教学中，对学生空间图形的想象能力要求比较高，这给部分同学的学习造成了较大困难。通过向量与空间直角坐标系的结合，使向量及其运算实现了几何结构的代数化，实现了几何问题与向量问题的相互转化。向量具有数的特征（大小或模），又有形的特点（方向）。其表达式既可以是字母（数），又可以是有向线段（形），特别是在解决有关立体几何问题中，更是数与形的完美体现，倍受广大高中师生的青睐，如空间的平行和垂直问题可以转化为向量的坐标运算，各类求距离问题可以转化为求一个向量在另一个向量上的射影的绝对值的运算，求夹角问题可以转化为计算相应两向量夹角来解决。实现了立体几何的问题由空间想象向数量运算的转化。

当然，在具体教学中数形结合的思想方法使用、渗透，需要教师逐步培养，但在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则、数形互补原则，应注重以下几点：1、能识图，发掘图形中的数量关系；2、会做图，用图形正确反映相应的数量关系；3、能切实把握“数”与“形”的对应关系，以图助数，以数释形。