非扩张半群， 变分不等式和均衡问题的混合迭代算法

文 萌，胡长松

(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 前言

除非特别声明， 在本文中我们都假设H是实Hilbert空间， 内积和范数分别由‖·‖和 <.，.>

给出， 并且C是H上的非空闭凸子集. 设{xn}是H中的任意一个序列， 则xn→x和xn⇀x分别表示{xn}强收敛和弱收敛.

映射T:C→C称为是非扩张的， 若

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，∀x，y∈C

(1)

含参量序列Γ:={T(t):0≤t<∞} 称为C到C上的一个(连续)Lipschitzian半群，若它满足下面的条件:

1)T(0)x=x， ∀x∈C;

2)T(s+t) =T(s)T(t) ， ∀s，t≥0;

3) 对每一个t> 0， 存在一个有界可测函数Lt:(0，∞)→[0，∞) 使得

‖T(t)x-T(t)y‖≤Lt‖x-y‖，x，y∈C;

4) 对每一个x∈C， 映射T(·)x:[0，∞)→C是连续的.

令A:C→H是一个非线性算子.则A称为

1) 单调的， 若

≥0，∀x，y∈H;

2)α-强单调的， 如果存在一个常量α>0使得

≥α‖x-y‖2，∀x，y∈H;

3)α-逆强单调的， 如果存在一个常量α>0使得

≥α‖Ax-Ay‖2，∀x，y∈H;

4) k-Lipschitz连续的， 如果存在一个常量k> 0使得

‖Ax-Ay‖≤k‖x-y‖，∀x，y∈H.

给出φ:C→H是一个非线性算子， 则变分不等式问题(简记为VIP)是寻找x∈C使得

<φx，y-x≥0，∀y∈C

(2)

VIP(2)的解定义为VI(C，φ). 众所周知， 如果φ是C上的一个强单调并且Lipschitz 连续的算子， 则VIP(2)有唯一的解.

混合均衡问题(简记为 MEP)是求x∈C使得下面的不等式成立:

(3)

(4)

受到 Kazmi K R和Rizvi S H[1]， Kumam P和Wattanawitoon K[2]的启发. 本文是在实Hilbert空间中， 用混合迭代算法逼近含参量非扩张半群解集， 变分不等式解集， 混合平衡问题解集的公共解， 并且通过这种方法得到了一个强收敛定理. 本文推广和改进了 Kazmi K R和Rizvi S H[1]， Kumam P和Wattanawitoon K[2]的相应结论以及许多前人的相应结论.

1 预备知识

众所周知， 在实的Hilbert空间H中有

‖x-y‖2=‖x‖2-‖y‖2-2

(5)

和

‖λx+(1-λ)y‖2=λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-λ(1-λ)‖x-y‖2

(6)

∀x，y∈H和λ∈[0，1] .

令C是H上的非空闭凸子集. 对每一个x∈H， 在C中存在唯一的最近点，记为PCx， 并且使得

‖x-PCx‖≤‖x-y‖ ∀y∈C

(7)

P称为H到C上的度量映射. 众所周知，PC是H到C上的一个非扩张映射，并且满足

≥‖PCx-PCy‖2

(8)

∀x，y∈H. 此外，PCx还具有下面的一些性质:PCx∈C和

≤0

(9)

‖x-y‖2≥‖x-PCx‖2+‖y-PCx‖

(10)

任意的∀x∈H，y∈C.显而易见，我们有

u∈VI(C，φ)⟺u=PC(u-λφu)，∀λ>0

在本文中我们主要用到下面的一些引理.

引理1 (Shimizu和Takahashi[3]). 设D是实Hilbert空间H的一个非空有界闭凸子集， 并且令 S={T(u):0≤u<∞} 是D上的一个非空扩张半群， 则对任意的h≥0，

令r> 0并且x∈H. 则存在z∈C使得

则下面的结论成立:

1)Tr是单值的;

2)Tr是稳定非扩张型映射， 即对任意的x，y∈H，

‖Tr(x)-Tr(y)‖2≤

引理4[6]令{an} 是一个非负实序列且满足

an+1≤(1-δn)an+bn+σn，n∈

2 主要结果

(11)

定义的序列， 这里{rn}⊂(0，2θ)，λn⊂(0，2α) ， 并且{αn}，{βn}，{δn}，{εn} 是(0， 1)中的序列. 假设下面的条件成立:

则{xn} 强收敛于z， 这里z:=PΩ(γφ+(I-μF))z.

证 不失一般性， 由条件i)和ii)对每一个n∈， 我们可以假设由引理5我们有

‖((1-βn)I-αnμF)x-((1-βn)I-αnμF)y‖=

(1-βn-αnτ)‖x-y‖

(12)

第一步. 证明{xn} ，{yn} ，{zn} 和{un} 都是有界的.对任意的x，y∈C:

‖x-y‖2-λn(2α-λn)‖AX-Ay‖2≤‖x-y‖2

因此，I-λnA是非扩张的.

由引理3有un=Trn(xn-rnφxn) . 令x*∈Ω， 则

‖un-x*‖2=‖Trn(xn-rnφxn)-Trn(x*-rnφx*)‖2≤

‖(xn-rnφxn)-(x*-rnφx*)‖2=

‖(xn-x*)-rn(φxn-φx*)‖2≤

‖xn-x*‖2-rn(2θ-rn)‖φxn-φx*‖2≤

‖xn-x*‖2

(13)

因为映射A:C→H是α-逆强单调的， 所以我们有

‖zn-x*‖2=‖PC(un-λnAun)-PC(x*-λnAx*)‖2≤

‖(un-λnAun)-(x*-λnAx*)‖2≤

‖un-x*‖2-λn(2α-λn)‖Aun-Ax*‖2≤

‖un-x*‖2≤‖xn-x*‖2

(14)

此外， 我们还有

‖yn-x*‖=‖δnγφ(zn)+εnzn+((1-εn)I-δnμF)zn-x*‖≤

(1-δn)(τ-γ))‖xn-x*‖+δn‖γφ(x*)-μFx*‖

(15)

由(11)， 我们得到

‖xn+1-x*‖≤αn(‖γφ(xn)-γφ(x*)‖+‖γφ(x*)-μFx*‖)+

βn‖xn-x*‖+(1-βn-αnτ)‖yn-x*‖≤

[1-(αn+(1-βn-αnτ)δn)(τ-γ)]‖xn-x*‖+

(αn+(1-βn-αnτ)δn)‖γφ(x*)-μFx*‖≤

(16)

由归纳法得到

由(15)， 我们有

由文献[8]中定理1的证明， 我们可以知道

(17)

此外，我们观察到

(18)

由映射 (I-λnA) 的非扩张性， 我们有

‖zn-zn-1‖≤‖un-un-1‖+|λn-λn-1|‖Aun-1‖

(19)

另外我们还有

‖yn-yn-1‖≤|δn-δn-1|(‖γφ(zn)‖+‖μFzn-1‖)+|εn-εn-1|(‖zn‖+‖zn-1‖)+

(1-δn(τ-γ))‖zn-zn-1‖+(εn-1-εn)‖zn-zn-1‖

(20)

(21)

由文献[1]中定理1的证明， 我们知道

(22)

这里M1=sup{‖un-xn‖:n∈} .

把(19)， (20)和(22)代入(21)， 可以得到

‖wn-wn-1‖≤|δn-δn-1|(‖γφ(zn)‖+‖μFzn-1‖)+

(23)

由(11)， 我们知道xn+1=αnγφ(xn)+βnxn+((1-βn)I-αnμF)wn于是

‖xn+1-xn‖≤αnγ‖xn-xn-1‖+|αn-αn-1|(‖γφ(xn-1)‖+

‖μFwn‖)+|βn-βn-1|(‖xn-1‖+‖wn-1‖)+

βn‖xn-xn-1‖+(1-βn-αnτ)‖wn-wn-1‖

(24)

把(23)代入(24)， 可以得到

|δn-δn-1|+|εn-εn-1|+|rn-rn-1|+|rn-rn-1|+

(25)

(26)

‖xn+1-x*‖2≤βn‖xn-x*‖2+(1-βn)‖yn-x*‖2+2αn‖γφ(xn)-μFwn‖‖xn+1-x*‖

(27)

另外我们知道

‖yn-x*‖2≤‖zn-x*‖2+2δn‖γφ(zn)-μFzn‖‖yn-x*‖

(28)

把(28)代入(27)得到

‖xn+1-x*‖2≤βn‖xn-x*‖2+(1-βn)‖zn-x*‖2+2(αn+δn)M2

(29)

把(13)代入(29)得到

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)rn(2θ-rn)‖φxn-φx*‖2+2(αn+δn)M2

于是

(1-βn)rn(2θ-rn)‖φxn-φx*‖2≤

‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖+2(αn+δn)M2

根据条件i)， ii)， iii)和(26)知

(30)

此外， 把(14)代入(29)可以得到

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)λn(2α-λn)‖Aun-Ax*‖2+2(αn+δn)M2

于是

(1-βn)λn(2α-λn)‖Aun-Ax*‖2≤

‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖)+2(αn+δn)M2

由条件i)， ii)， iii)和(26)知

(31)

类似于文献[9]中(b)的证明，由(5) 和(8)， 我们还可以得到

于是

‖zn-x*‖2≤‖xn-x*‖2-‖un-zn‖2+2λn‖un-zn‖‖Aun-Ax*‖

(32)

把(32)代入(29)， 我们有

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)‖un-zn‖2+

2λn‖un-zn‖‖Aun-Ax*‖+2(αn+δn)M2

于是

(1-βn)‖un-zn‖2≤‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖)+

2λn‖un-zn‖‖Aun-Ax*‖+2(αn+δn)M2

由条件i)， ii)， iii) ，(26)和(31)可以得到

(33)

同理由引理3知

于是

‖xn-x*‖2-‖un-xn‖2+2rn‖un-xn‖‖φxn-φx*‖2

(34)

把(34)代入(29)有

‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)‖un-xn‖2+

2rn‖xn-un‖‖φxn-φx*‖+2(αn+δn)M2

于是

(1-βn)‖un-xn‖2≤‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖)+

2rn‖xn-un‖‖φxn-φx*‖+2(αn+δn)M2

(35)

由于yn=δnγφ(zn)+εnzn+((1-εn)I-δnμF)zn， 所以

‖yn-zn‖=‖δnγφ(zn)+εnzn+((1-εn)I-δnμF)zn-zn‖=δn‖γφ(zn)-μFzn‖→0

(36)

此外， 由(33)， (35)和(36)， 我们知道对每一个h∈[0，∞)

‖T(h)yn-T(h)xn‖≤‖yn-xn‖≤‖yn-zn‖+‖zn-un‖+‖un-xn‖→0

(37)

故， 由(18)和(37)可以得到

‖T(h)yn-xn‖≤‖T(h)yn-T(h)xn‖+‖T(h)xn-xn‖→0

因此， 对每一个h∈[0，∞) 有

‖T(h)yn-yn‖≤‖T(h)yn-xn‖+‖xn-yn‖→0

(38)

观察到PΩ(γφ+(I-μF)) 是一个压缩映射. 事实上， 对任意的x，y∈H， 由引理5有

‖PΩ(γφ+(I-μF))x-PΩ(γφ+(I-μF))y‖≤

‖γφ(x)-γφ(y)‖+‖(I-μF)x-(I-μF)y‖≤

γ‖x-y‖+(1-τ)‖x-y‖=(1-(τ-γ))‖x-y‖

由压缩映射原则我们可以知道PΩ(γφ+(I-μF))z有唯一的不动点， 记作z∈H. 即为z=PΩ(γφ+(I-μF))z. 为了证明我们的结论， 取 {yn} 的子列{ynj} 使得

(39)

a) 首先， 证明ω∈VI(C，A) . 类似于文献[9]中定理11的证明， 我们可以证得ω∈VI(C，A)

第五步 证明xn→z. 事实上， 由(11)和(18)知

‖xn+1-z‖2=<((1-βn)I-αnμF)wn-((1-βn)I-αnμF)z，xn+1-z>+

βn<(xn-z)，xn+1-z>+αn<(γφ(xn)-μFz)，xn+1-z>≤

(1-αn(τ-γ))‖xn-z‖‖xn+1-z‖+δn‖γφ(z)-μFz‖‖xn+1-z‖+

αn<(γφ(xn)-μFz)，xn+1-z>≤

δn‖γφ(z)-μFz‖‖xn+1-z‖+αn<(γφ(xn)-μFz)，xn+1-z>

于是

‖xn+1-z‖2≤(1-αn(τ-γ))‖xn-z‖2+

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