《数学建模》课程教学改革的探索和思考

刘永财，胡庆婉

（曲靖师范学院 数学与信息科学学院，云南 曲靖 655011）

数学建模是解决实际问题的第一步.将错综复杂的实际问题简化、抽象成合理的数学模型，然后进行求解，对结果进行分析，对模型进行评价，最后对模型进行其他方面的应用是数学建模课程的主要内容.数学建模是能力与知识的综合运用过程，需要建模者具有较扎实的数学基础，对实际问题有足够的了解，并具有尽可能灵活的技巧去驾驭问题的研究能力.因此，数学建模课程不仅需要教会学生知识，还需要培养学生驾驭知识的能力.

我校数学模型课程开设几年以来，学生的实践应用能力得到了明显提高，教学效果明显，参加数学建模竞赛的人数每年也都在逐步增加.但是，随着数学模型课程教学的不断深入，我们发现在授课过程中还存在着如下不足：教材和教学内容陈旧，不能与时俱进更新；教学内容追求量不追求精，没有足够时间进行精细的教学；数学建模课程独立化，很少和其他相关课程真正地联系起来；课后作业与实际问题不搭边，没有新意，没有趣味性，很多作业都能在网上或者参考书上找到答案，学生常常相互抄袭，敷衍了事；考核方式不合理，偏重理论知识，没有学生驾驭知识能力的考核.针对以上问题，我们在教学过程中进行了下述的改革：

1 优选教材，精选教学内容，与竞赛题目相结合

我校自开课以来一直采用姜启源等主编的《数学模型（第三版）》作为教材，这是一本很经典的教材，也是一本很基础的教材.随着时间的发展，这本教材也出现了一些问题，例如内容本身形式不新颖，很难激发学生学习热情，另一方面，由于内容和课后作业题目已经成型很多年，答案也比较固定，很容易找到标准答案，学生做作业的时候抄袭答案，敷衍了事.基于以上原因，我们在原来教材的基础上，新增加两本参考书，分别是浙江大学出版社出版，杨启帆等编著的《数学建模》和高教出版社出版，赵静等主编的《数学建模与数学实验》.以这两本书作为参考，结合往年教学内容追求量忽视质的缺陷，我们重新调整了数学建模课程的教学内容，在初等模型章节，我们讲解：席位的公平分配，汽车刹车距离，量纲分析，崖高的估算，舰艇的会合.在优化模型章节，我们讲解：存贮模型，最有价格.在规划模型一章，我们讲解：奶制品的生产和销售，自来水的输送和伙计装运，汽车生产和原油采购，钢管和易拉罐下料.对于易拉罐下料问题我们结合2006年试题C题“易拉罐的优化设计问题”进行讲授，问题的背景更加有说服力和感染力.在微分方程模型一章，我们讲解传染病模型，人口的预测和控制.人口预测和控制这一问题我们结合2007年全国大学生数学建模竞赛中的A题进行讲解，我们分析采用微分方程模型和差分方程模型解决这个问题的可行性及优缺点分析.最后，我们下载当年获得奖杯的论文给学生们欣赏，讨论该论文的优点在哪里，尚有哪些不足.在稳定性模型一章，我们讲解捕鱼业的持续收获，种群的相互竞争，捕食与被捕食模型.在差分方程模型一章，我们讲解差分形式的阻滞增长模型和按年龄分组的种群增长.在离散模型一章，我们讲解层次分析模型，并结合2010年全国数学建模竞赛试题B题“2010年上海世博会影响力的定量评估”的题目以及2011年国数学建模竞赛试题A题“城市表层土壤重金属污染分析”进行讲解，要求学生们用层次分析法去完成部分题目.

通过调整教学内容，我们引入了部分新颖的题目，活跃了课堂气氛，调动了学生自主学习的积极性.特别是历年竞赛题目的引入，使得问题更加具有实际意义，一方面使学生知道所学知识的实际用途，学有所用，可以用到现实问题的解决中，也能够将自己所学到的方法用到竞赛中去；另一方面，通过阅读历年的大学生数学建模竞赛的获奖论文，能够看到我们采用的方法存在的不足之处，还能从论文中学习到其他的建模方法，建模思路和学生们没有学习到的知识和方法，以及建模论文的写作技巧，而这些都是我们数学模型的课堂很难直接教授给学生的.学然后知不足，通过采用这样的授课方式，进一步地激发了他们的学习兴趣，有效地提高了学生的学习效率.

2 教师交叉授课，学生站上讲台

数学模型这门课程自开课以来，得到了学生的普遍欢迎，为了进一步提高课堂教学的效率，考虑到不同的上课教师授课的风格习惯不同，讲授的技巧不同，比如有的教师习惯于黑板加粉笔的传统授课方式，有的教师喜欢采用多媒体课件授课，有的教师辅导过多届学生参见数学建模竞赛，建模经验比较丰富，有的教师对课程的内容熟悉，对知识的整体把握感强，鉴于此，我们采取了上课教师交叉授课的方式.在一个学期的授课过程中，安排6个课时，请其他讲授数学模型的教师给本班同学授课，然后对教学效果进行反馈，取长补短，提高自己的教学水平.两外我们精选6个小题目，安排6个课时请本班学生来讲课，更大的调动了学生的学习热情.实行这一番措施后，学生们的反应非常好，学生不仅能适应不同教师的授课风格，还能从一个被动接受的角色转变成主动讲授的角色.

3 增设实验课，提高学生使用数学软件的能力

针对数学与应用数学专业的学生数学理论知识扎实，但是计算机软件能力相对欠缺这一情况，我们除了安排理论课程之外，还专门安排了相关的上机实践课程，因为数学模型的求解，很多都要借助于计算机来实现，比如一般的优化问题，需要借助LINGO或者LINDO软件来实现，主成分分析的问题，需要借助于统计软件SPSS来实现，微分方程模型，则大多需要借助MATLAB软件来完成.

在实际的授课过程中，在讲授完书本上介绍的理论课程后，及时地安排学生上机进行实践，使学生能够熟练地使用相应的软件来解决实际问题.实践课上，要求所有的同学，能够使用软件来完成书本上给出的例题.而对学有余力的同学，尤其是理论知识扎实，而且计算机实践能力突出的同学，安排有一定难度的课外题目要求他们完成.这样的话，他们就能够在使用软件进行基础编程的基础上，进一步学习软件的其他功能和技巧，增强他们使用数学软件的能力.

4 改革作业模式，动手又动脑

作业是教学改革的重要部分，作业布置得不好会让学生更加讨厌这门课程，相反，作业布置得好可以激发学生更大的学习热情.《数学建模》教材有很多题目可供学生练习，但是这些题目无论从形式上，还是从内容上都很陈旧，题目的答案也很容易找到，学生大多彼此抄袭，敷衍了事，根本达不到预期的作业效果.针对这一情况，我们设计了形式和内容都很新颖的作业题.

为了锻炼学生解决实际问题的能力，我们布置的一个作业题目是发给每个人一个形状不规则的卡片如图1所示，让他们分别用梯形公式，Simpson公式，复化梯形公式，复化Simpson公式计算其面积.作业最后以小论文的形式上交，作业内容包括设计算法，编写代码，图像展示数值结果，估计误差.由于每个人的卡片不同，坚决杜绝了作业抄袭的现象.另外由于形式新颖，且需要动手测量，极大的调动了学生的学习热情.

图1 数值积分计算面积

还有的作业题目需要自己搜索资料和数据，例如我们考虑曲靖地区的气温变化，以24小时为小周期变化，与此同时日平均气温又随季节变化，以一年为周期改变，建立数学模型刻画时间与曲靖气温之间的关系.这个题目就需要学生自己去搜索曲靖市历年气温变化情况，不仅锻炼学生的数学建模能力，还锻炼了学生利用网络，查找文献和数据的能力.

5 改革学生成绩的考核方式

以前学生的综合成绩评定为平时成绩占20%，期中成绩占20%，期末成绩占60%.期中和期末考试都采用闭卷形式，考察学生掌握知识的情况，但是根本考察不到学生的实践能力和驾驭知识的能力.在这种考试模式下，学生往往出于对高分的追求，相应的学习重心也发生转移，过分注重书本上的理论知识，忽略了实践能力的培养，这与我们开设这门课的初衷是相违背的.因此，我们对考核方式进行改革.综合成绩评定为平时成绩占10%，期中成绩占20%，上机实验成绩占10%，期末成绩占60%.平时成绩主要是考勤和作业情况，所以不用占很大比例.我们增加了上机实验环节，突出考察学生的实践能力.我们还将期中考试的闭卷考试形式改成了提交一篇数学建模的小论文.授课教师指定若干题目，学生在老师制定的题目当中任意选择题目来做，这样能有效地杜绝学生之间相互抄袭，提高学生的写作能力以及实践能力，这部分的内容占学生课程总成绩的20%.通过这种考核方案的调整，能够从一定程度上纠正学生只偏重书本理论知识的学习而忽略了实践能力培养的学习方式.实践证明，新的考核方式使得学生的使用计算机软件能力以及论文的写作能力得到很大的提高.

我们鼓励学生积极参加数学建模的网络挑战赛，全国大学生数学建模竞赛，美国大学生数学建模竞赛，通过参加竞赛，学生把书本上学到的知识应用到实际问题的解决中，进一步地熟悉数学建模的一般过程，通过这样的实战演练，提高了学生的综合能力.另外，通过参加竞赛，提高了学生快速查阅文献的能力以及论文写作能力，而这些都是数学模型教学课堂没有办法直接教授给学生的.

以上是我们在数学模型教学课程中采用的一些方法和探索，一定存在很多不足之处.全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛正如火如荼地展开，每年都有新题型、新问题出现，这也给数学模型的课程带来了新变化.而且，随着新方法新技术的出现，数学模型课程的内容也会发生变化.因此，数学模型课程的改革任重而道远，我们还要继续努力，争取把数学模型课程建设成为校级精品课程.

〔1〕罗卫民,李昌兴,史克刚.“数学实验”与“数学建模”课程教学改革[J].高等工程教育研究,2005（6）：110-112.

〔2〕李大潜.素质教育与数学教学改革.2000(03).

〔3〕姜启源.数学实验与数学建模[J].数学的实践与认识，2001,31（5）.

〔4〕杨启帆,谈之奕,何勇.数学建模[M].江苏:浙江大学出版社,2010.

〔5〕赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社,2009.

〔6〕姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社,2009.