同题异构在数学解题中的应用

刚守涛

摘 要：数学解题是学生集中所学知识解决实际问题的过程，在这一过程中，所需的理论和方法取决于学生先前的联系经验，更与思考问题的方式和习惯密不可分。下面就具体问题展开分析，愿与各位同仁商榷。

关键词：同题异构；数学解题；应用

求最值问题是中学数学中常见的问题，常见的解决方法有均值不等式法、函数单调性法等。根据不同的条件和信息选择解决方法。数学中的转化与化归思想在解题中至关重要，如何理解有效信息，更大范围地联系所学知识构建数学模型成为解题关键。不同的数学模型体现不同的思维空间，展示不同的思维过程，体现共同的数学之美。

有这样一道求最值题：设b是1-a与1+a的等比中项，则

a+3b的最大值为多少？

根据题目条件可以直接得到数学信息：3b2=1-a2，条件中的等量关系得到直接体现，接下来针对问题a+3b的取值范围展开讨论。

解法一：条件变形得到a2+3b2=1，把（a，b）看作椭圆上的一个动点，令m=a+3b，问题转化为求m的取值范围。结合线性规划的理论与解题策略，限定的区域为椭圆上的点，a+3b=0得到直线方程，平移直线获得变量m的最值，直线与椭圆相切时，m取得最大值为2，最小值为-2。

解法二：由解法一得到a2+3b2=1，把（a，b）看作椭圆上的一个动点，令a+3b=m，问题转化为求m的取值范围。联立a2+3b2=1

a+3b=m，得到12b2-6bm+m2-1=0。由直线与椭圆有公共点，可以得到Δ=36m2-48（m2-1）≥0，解得m2≤4，∴-2≤m≤2，m的最大值为2。

解法三：根据解法一可以得到m的最大值在直线与椭圆相切时得到，所以联立方程，由判别式Δ=36m2-48（m2-1）=0，解得m=

±2，∴m=2。

……

以上几种方法其实都充分利用了椭圆方程这一数学模型，把变量的变化充分结合动点的分布，再现不同方法与问题的结合，体现出同题异构的精妙之处，反映的是解题思路，呈现的是方法，训练的是学生广泛联系的解题策略。

解法四（几何法）：根据条件a2+3b2=1，当且仅当参数a，b都取正数时，a+3b可能取到最大值。

于是构建△ABC，如图，使得C=30°，AB=1，设BC边上的高AD=b，BD=a，则有CD=3b，AC=2b。由正弦定理可得a+3b=sin∠BAC，当且仅当∠BAC=90°时，a+3b=2成立。

同一道数学题，采用了不同的解题策略，过程不同，不一样的精彩，最终实现解题的目的。如果学生主动参与进来，那么效果会更好。数学解題的最终目的不过是学会用数学知识解决实际问题，从这一目的来说，同题异构可以实现数学学习的方法与应用策略，更好地掌握数学内容。期待有更好的方法、更多的精彩与学生分享，共同成长。

（作者单位 山东省东营市胜利第二中学）