例谈数学教学反思的收获

张建国

摘 要：随着新课程的实施，教师普遍意识到教学反思的重要性，事实上教学反思是教师专业发展和自我成长的核心因素。通过对学生评价结果的反思、课堂教学的反思以及解题的反思，不仅提高了课堂教学效益，而且收获了教学设计时所无法达到的预想效果。

关键词：“教学反思”；“评价反思”；“解题反思”；“以解代证”；“动静置换”

随着新课程的实施，教师普遍意识到教学反思的重要性。美国心理学家波士纳就提出了教师成长=经验+反思。一语道出了教学反思是教师专业发展和自我成长的核心因素。教学反思是教师以自己的教学活动过程为思考对象对自己所做出的教学行为、决策以及由此所产生的结果进行审视和分析的过程。教学反思就形式而言主要包括对解题的反思、课堂教学的反思、对学生评价结果的反思和与其他教师交流的反思等。通过教学反思，不仅提高了课堂教学效益，而且促进了教师自身的专业成长与专业素养的形成，收获了教学设计时所无法达到的效果。本文就这方面谈谈自己的一些心得体会。

一、对学生评价结果的反思

通过对学生接受情况的反馈与反思，教师可以及时发现自己授课的得与失，以便对自己的教学行为及时给予修正。案例1：“三角形的外角”复习课。以前复习时是先回顾一下有关三角形内角和与外角的性质，接着出示一道例题：如图1，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线相交于点P，求证∠P=■∠A。师问： 解这道题该怎么入手？生没什么反应，师启发：可以把∠P放在什么地方进行研究？生思考后回答：∠P可放在△PBC中考虑。师问：那么∠P可以怎么看，它与哪些量有关系？生思考，接着相当多的学生回答∠P可以看成180°-∠PBC-∠PCB或∠PCM-∠PBC。师：很好，那么请大家就这两种想法看接下去怎么转化，是否都可行，哪种证法会简单些。大部分学生很圆满地解决了问题。

∵∠PCM=■∠ACM，∠PBC=■∠ABC，

∴∠PCM-∠PBC=■∠ACM-■∠ABC=■（∠ACM-∠ABC）=■∠A

或∠P =180°-∠PBC-∠PCB=180°-■∠ABC-∠ACB-∠ACP=180°-■∠ABC-∠ACB-■∠ACM=180°-■∠ABC-∠ACB-■∠ABC-■∠A =■∠A，并发现利用∠P=∠PCM-∠PBC简单些。

命题得证后，教师接着对题目进行变式，把已知的一内角、一外角两条角平分线先改成两条内角平分线，再改成两条外角平分线，让学生探究此时∠P与∠A的关系。这节课到此为止，自认为分析的很到位，学生掌握也不错，但半期考最后一题恰好就是这道题的变式。题目为：如图2，在平面直角坐标系中，A、B分别在x、y轴正半轴上移动，MB平分∠NBA，与∠BAO的平分线交于C点，求∠C.结果相当部分中等学生无法解答.针对这一情况，对这道题的教学过程重新进行反思.反思一：对于上述解题的技巧方法没有适时给学生归纳，这道题之所以让学生感到吃力，关键在于第一步对∠P应如何考虑，应让学生懂得要研究角，首先应把角放在什么地方进行研究，实际上上述解法可以归纳为以解代证，意即通过对∠P的计算，从而间接地找出与∠A的关系；反思二，这种解法是通性通法吗？其实不然，对于初中学生而言证明角相等才是他们最熟悉的模式，因而本题证∠P=■∠A是否可以转化为证角相等呢？答案是肯定的.要想转化成角相等，很自然地想找到∠A，故可以做∠BAC的平分线交PB于点N（如图3），则欲证∠P =■∠A，只须证∠ANO=∠PCA， 只须证∠NAB+∠NBA=∠PCA，只须证■∠BAC+■∠ABC=∠PCA，只须证■（∠BAC+∠ABC）=■∠ACM，分析到此结论可出。虽然这种证法比原来证法看似麻烦，但能真正地让学生体会到数学的通性通法与转化思想，很好地锻炼了学生的思维；反思三：变式的结论极具对称性，如图4，当两条角平分线变为两个外角的角平分线时，∠P1=90°-■∠A，当角平分线变为两个内角的平分线时，∠BP2 C =90°+■∠A.那么这三个结论是否有某种联系呢？经探究，例如，欲证∠BP2C=90°+■∠A，除了用第一种以解代证外，很显然也可借鉴第二种方法看到结论有■∠A，照样连接P2A并延长，考虑90°为内角和一半，把命题转化为只须证：∠BP2C=■（∠ABC+∠ACB+∠BAC）+■∠BAC，只须证∠BP2C=（■∠ABC+■∠BAC）+（■∠ACB+■∠BAC）。要转化为角相等只须证∠BP2C=∠BP2Q+∠QP2C，而这显然成立。那么如果借鉴探究一结果欲证∠BP2C=90°+■∠A，∵∠P=■∠A，只须证∠BP2C=90°+∠P，只须证∠P2CP=90°，只须证∠P2CA+∠PCA=90°，只须证2（∠P2CA+∠PCA）=180°，这显然成立，同理可以进一步探究出∠BP1C=90°-■∠A只需放在△PP1B中，∠BP2C与∠BP1C可以放在四边形BP2CP1中.考虑这样一来不仅从解法上得到一题多解，更关键让学生真正充分体验了数学探究之旅，体会数学的对称美。

二、课堂教学中的反思

教学中的反思主要针对教学中出现的新情况、新问题或有些预先没考虑的事情随机做出判断，并及时调整教与学的行为。案例2：在上一元一次方程时，课本有一道习题：一列火车经过一条长612米的隧道，完全通过的时间为28秒，隧道顶部有一盏探照灯，照在火车上的时间为10秒，求火车的长度及速度。本题学生因很难理解探照灯照在火车的时间为10秒，所以不容易找到相等关系，以致无法求解。如何突破这一难点呢？先看一道简单的题目：A，B两地相距90千米，甲、乙两人同时相向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走12千米，问经过几小时两人第一次相遇？很显然可以设经过x小时，两人第一次相遇，可列方程6x+12x=90，合并得（6+12）x=90，对等式左边合并结果（6+12）x进行反思，以前学过的正负数表示相反意义，如果规定向东为正，那么向西走3米记为-3米，那么如果把甲从A到B的方向记为正方向，那么甲速度记为+6千米/时，那么乙速度就记为-12千米/时。另外课本有一道例题，有10袋面粉重量分别为91、93、97、95、97、89、87、83、91、99，求这10袋面粉的总重量。观察发现这10袋面粉重量都在90左右，那么以90为标准，超过的记为正数，不足的记为负数。类似地，若把乙看成是静止的，则甲相当于以6+12=18的速度一个人走完全程，按照这样理解的话，那么探照灯在火车上照了10秒，就可以把火车看成是静止的，那么探照灯就是动的，且以火车的速度走完一个火车长度花了10秒，可用火车长来做相等关系，若设火车速度为x米/秒，可得28x-612=10x，易求出x值。那么再用这种思想来解决一类行程问题简直易如反掌。案例3：一艘轮船逆流而上，已知船在静水中的速度为30千米/时，船在顺水中的速度为在逆水中的速度的2倍，现有一只救生圈掉入水中，半小时后发现救生圈丢了，立即返回去追，问船多长时间追上救生圈？这是一道竞赛题，很多考生花了大量时间还未必会解出来，如果按照常规处理，则要先分别计算出船在顺水中和逆水中的速度，再算出半小时救生圈漂了多远以及船行驶了多远，再按照追击问题求出追上的时间，但如果根据上述动静置换的观点，把救生圈看成静止的，则因为第1次船运动方向与救生圈相反，那么船原本在逆水中的速度就可以看成船是以在静水中的速度行驶了半小时，同理当船掉转时，此时船与救生圈运动方向同向，如果还是把救生圈看成静止的，则这时船速应看成船在顺水中的速度减去救生圈的速度（水流的速度）还是等于船在静水中的速度，那么由于船的往返路程一样，所以追上救生圈还需半小时。这样就避开了复杂的运算，根本无须求出顺水速度、逆水速度、水流速度。利用这一方法可以轻松地解决有关一元一次方程中行程的问题。反思的作用妙极了。

三、对解题教学的反思

解题反思是一种对解题活动的 “再认识”，属于解题活动的“元认知”，它是对解题活动的深层次再思考。它不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复。而且更是探究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性，解题反思对学好数学有很大的帮助，也只有对数学解题充满兴趣并深入其中，才能领略其无穷的奥妙，而通过反思又可以增添更大乐趣，这是一个良性循环的过程。

就从上述解题应用动静置换的思想为例，以此类推，此方法在几何问题中同样也能大显身手。案例4：如图5，已知边长为a的正三角形ABC，点A在x轴上，点B在y轴上移动，C在第一象限，求OC的最大值。按照常规分析由于A，B动导致C点动，那么对初中生而言本题甚至无法入手，即使对于高中生也是有很大的困难，但如果能意识到O与C动静只是相对而言，并且进一步发现由于∠AOB=90°，所以，点O在以AB为直径的圆上，这样动静置换，先让△ABC定下来，意味着C点定下，而O在以AB为直径的圆上，那么这问题就转化为定点到圆上各点距离最大值问题。这是学生熟悉的模型，那么除了这种动静置换方法以外，是否还有其他的方法？于是开始对答案进行反思，发现OC的最大值为■+■a，在如图中，若取AB的中点M，连接OM，CM，显然有OC≤OM+MC=■+■a，由于顶点A、B可以在x轴、y轴的正半轴上滑动，故当O，M，C三点共线时上式取等号，所以OC的最大值为■+■a，限于篇幅，请大家自行思考：1、为什么要取AB的中点？2、如果把正三角形改成正方形以至正多边形是否还有类似的结论？3、可否应用这种动静置换的思想解决多动点问题？

以上只是本人对教学反思的一点体会，教而不研则浅，研而不教则空。要想提高课堂效率，教师必须不断学习，在学习中不断反思，才能不断提高自身教研水平，从而提高教学质量。

参考文献：

[1]康宇.直觉的魅力[J].中学生数学 2011（11）：1-2.

[2]杨俊林.例谈数学解题反思的收获[J].中学生数学 2011（2）：8-9.