让学生亲身经历数学概念建构的过程

王保卫

数学中的原理都是由一些概念构成的，而数学中的推理和证明实质上由一连串的概念、原理和判断组成。因此，数学教学的内容主要是数学概念和数学原理的教学。而数学概念的教学是数学原理教学的基础，是数学教学中最重要的内容。[1]概念是对客观现实的主观反映，揭示的是客观事物的本质属性，它具有高度的概括性和抽象性，这与小学生以形象思维为主的思维特征不相吻合。所以，小学教师要根据儿童的认知规律和思维特点，为他们提供充分的观察、分析、思考、归纳等机会，让他们积极参与到建模、比较、操作、同化、变式等数学活动中来，“亲身经历”概念的产生、形成、发展、应用的过程，从具体、感性的认识逐步过渡到抽象、理性的认识，让概念的“形象”清晰起来，让概念的本质属性凸显出来。

一、 在建模中，体会概念的概括性

【片断】

……

师：大家能想出一件“事情”，用5-2=3来表示吗？

生1：教室里有5个小朋友，走了2个，还剩下3个。

生2：花园里有5朵花，摘了2朵，还剩3朵。

生3：5枝铅笔，丢了两枝，还剩3枝。

师：为什么有的事情发生在教室里，有的事情发生在花园里，而且有的是说小朋友，有的是说摘花，完全不一样的事情，却能用同一个算式来表示呢？

生1：因为它们表示的意思是一样的。

生2：都是从5里去掉2，剩下3。

生3：5-2=3的本领真大啊！

【分析】

“减法”是什么？“减法”是解决一类问题的模型，从一个量中去掉一个量，求剩下的量时，就用减法；减法既可以表示整体与部分的关系，也可以反映两种量的大小关系。这么“高深”的理论能给一年级的学生讲吗？即使讲了，学生又能听懂吗？如果只是让学生完成书上的例题，从表面上知道减号的名称而没有体会到减法算式的高度概括性，不知道什么时候应该使用减法，没有在心里建构起减法的模型，又如何能让学生“触摸”到数学的本质呢？

学生获得概念的三种基本形式是概念的形成、概念的同化和概念的顺应。[2]其中的概念形成是一种发展过程，是在对事物感知、分析、比较、抽象的基础上，概括一类事物的本质属性的过程。教材上的例题提供了两幅连续的场景图，通过学生说出场景图所表示的意思，理解“从5人中去掉2人，还剩3人”，揭示出减法算式及其减号的名称。应该说，这时学生对减法的含义只是直观的感知，对减法算式只是初步的认识，教师虽然直接“告诉”学生什么是减法，但是他们并没有在心里面完全认可。为了进一步深化学生对减法的理解，透彻地把握减法的内涵，教师没有在例题教学结束后就立即转入练习巩固，而是对例题“添枝加叶”，继续“延伸”着例题的教学，设计了一个“创造减法”的情境，引领学生从大量的具体例子出发，借助感性经验和已经了解的事实，对这些直观呈现的例证材料进行分析比较，初步形成减法这个概念的表象，进而以归纳概括的方式抽象出事物的本质属性，这时候的学生不会再仅仅认为例题中的“5个小朋友浇花，走了2个，还剩下几个”的问题可以用“5-2=3”来解决，他们已经发现许许多多这种类型的题目都可以用“5-2=3”来解决。

让学生反复列举减法的例证，并引导学生对这些减法实例进行思考，在不同之中找相同，经历从特殊到一般、从具体到抽象、从分散到概括的过程，从而发现同样是一道算式却可以解决许多问题，进而实实在在地经历了“建模”的过程，体会到了概念的高度概括性。

二、 在比较中，显现概念的核心性

【片断】

师：观察表中数据，年薪6万能不能反映出所有员工年薪的整体水平？

生1：不能。科员的年薪只是2万，远远低于平均数6万。

生2：不能。因为绝大多数员工的年薪低于6万。

师：如果用表中的一个数据反映员工年薪的整体水平，哪个数据比较合适？

生1：4。因为比它大的有三个数，比它小的也有三个。

生2：我也觉得“4”比较合适，因为除了董事长以外，多数人的年薪水平距离4万元都不是太远。

师：观察这组数据，猜想一下：在平均数和中位数两个统计量中，用哪个统计量表示这一组女生的跳绳水平更合适？

【分析】

在描述一组数据集中趋势的统计量中，中位数和平均数是两个核心概念，二者都可以作为一组数据的代表来反映数据的一般水平；如果有“极端数据”出现，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比用平均数更加合适。如何才能引领学生把握住中位数所“独有”的核心内涵呢？费德恩等人认为，核心概念是一种教师希望学生理解并能在忘记其非本质信息或周边信息之后，仍然能应用的概念性知识，并且他们认为核心概念必须清楚地呈现给学生。[3]

这就要求教师在教学时，不能停留在学生会背诵中位数的定义和会求出一组数据的中位数这一层面，而是要带领学生经历概念形成的过程，感受数学再创造的魅力，深入体会中位数的统计意义。因此，教者设计了三次比较学习活动：第一次是用求出的平均数和7个数据进行比较。教师提出：“年薪6万能不能反映出所有员工年薪的整体水平？”学生就会把平均数与每一个数据进行对比，从而发现由于极端数据“20”的影响，致使平均数高于大多数数据。这样，学生在反思平均数的同时，自然会寻求一种新的统计量来衡量员工工资的整体水平，学生探索新知识的意识被调动了起来。第二次是同一组数据的比较。教师又一次创设了问题情境：“你打算利用表中哪个数据来反映员工的工资整体水平？”这一问，引而不发，含而不露，不仅为学生指明了探究方向，而且将学生思维的触角引向纵深发展。学生“知其然”，更需思考“所以然”，在问题引领下，学生对眼前的这组数据进行观察、思考、比较、鉴别。学生在独立思考的基础上，合作交流，在思考中加深体验，在碰撞中提升智慧，最终找到了一个合适的数据“4”，至此“中位数”呼之欲出。第三次是两个统计量在一起比较。教师提出猜想：“在平均数和中位数中，用哪个统计量表示这一组女生的跳绳水平更合适？”学生就会利用刚才学习的知识求出中位数和平均数，然后反思：为什么用中位数表示跳绳水平比用平均数表示更合适？什么时候用平均数表示一组数据的整体水平，什么时候又用中位数来表示呢？在“提出猜想→验证猜想→形成结论”的探究过程中，完成了思维的内化和概括。通过三次比较活动，引领学生对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，在对比中排除了概念的非本质属性，在对比中展现了两个统计量各自的特点，在对比中学生进一步感受到属于中位数独有的特征，从而进一步凸显了中位数的核心性。

三、 在操作中，接纳概念的抽象性

【片断】

教师以1分米为边长画一个正方形，然后告诉学生，这个正方形的面积是l平方分米。接着教师用剪刀剪下这个l平方分米的正方形纸，贴在黑板上。

学生操作：剪出一个l平方分米的正方形，用手摸一摸，闭上眼睛想一想1平方分米的样子及大小。

学生操作：动手剪出l平方厘米的正方形后，相互交流是怎样剪的。然后让学生用手摸一摸，闭上眼睛想一想l平方厘米的样子及大小。

把1平方分米的正方形纸和l平方厘米的正方形纸放在桌面上，看一看、比一比，闭上眼睛想一想它们的样子及大小。

师：四个同学合作，请分别拼出面积为4平方分米和6平方厘米的图形。

【分析】

因为学生在日常生活中很少用到面积单位，没有一定的感性经验和生活常识做基础。所以，学生不容易从数学实质上把握1平方分米和1平方厘米的大小。1个面积单位到底有多大？能“比划”出来吗？能把具体的、形象的1平方分米和1平方厘米抽象出来吗？

操作是一种思维内化的过程，是“非语言行为”逐步概括化、变成在头脑中的活动的过程，也就是逻辑推理的过程。[4]因此，操作是实现从形象到抽象跨越的重要举措。首先，1平方分米的认识是由教师先示范画出并剪下1平方分米的正方形纸，然后是学生剪出一个l平方分米的正方形，用手摸一摸，闭上眼睛想一想1平方分米的样子及大小。而1平方厘米的认识完全交给了学生，让学生通过看一看、摸一摸、剪一剪及说一说、想一想等活动，形成了正迁移，完成了对面积单位进行意义建构的过程。这时的学生不仅眼中有具体形象的1个面积单位的正方形纸片，头脑中有1个面积单位的表象，而且手、脑、眼等多种感官同时参与，协同活动，对所建立的表象反复酝酿、修复，最终达到去掉面积单位这个概念的非本质属性，完全抽象出面积单位的境界。为了进一步巩固所建立的面积单位的表象，教师又安排了拼图形活动，把概念具体化，这样从具体到抽象又回到具体，符合小学生的认识规律，使学生更准确地把握概念的内涵和外延。在看、剪、摸、比、想、拼等操作活动中，逐步剔除概念的非本质属性，实现了形象→表象→抽象的递进，在不知不觉中接纳了概念的抽象性。

四、 在同化中，展露概念的系统性

【片断】

师：12的因数有哪些？18的因数又有哪些？

学生回答。

师：1是12的因数，也是18的因数，我们就说1是12和18 的公因数。

学生重复。

师：你认为12和18的公因数还有哪些？为什么？

生1：2和3都是12和18的公因数，因为他们既是12的因数，也是18的因数。

生2：我认为6也是12和18的公因数。因为12的因数里有6，18的因数里面也有6。

师：12和18的最大公因数是多少？

生：是6。

师：讨论一下，因数、公因数、最大公因数的联系与区别分别是什么？

【分析】

概念同化以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用理解概念。[5]因此，在引领学生通过同化来形成概念的时候，要关注学生已有的知识基础和原有的认知结构，创造机会让学生比较新概念和基础概念的区别与联系，从概念外延的角度对新旧概念进行比较，了解两个概念的逻辑关系，经历完整的概括过程，从而把新概念纳入到原有的认知结构当中。

因数的概念是公因数概念的基础，而公因数概念又是最大公因数概念建构的关键，这三个概念就构成了一个局域网。所以，教师在教学的时候分为这样几个层次：一是从因数概念的复习开始，激活学生已有的知识经验和求因数的活动经验，把因数的相关知识作为本节课的铺垫；二是直接揭示公因数的概念并让学生自主探究出12和18 其他的公因数，使学生获得具体例证的支持，把公因数概念融进原有的知识结构之中；三是概念的分类，让学生比较因数、公因数、最大公因数这三个概念，既让学生找出三个概念的相同点及内在的联系，把三个概念联系起来，同时又让学生找到三个概念的不同之处，把三个概念区别开来。这样，在概念网络中感悟最大公因数这个概念的内涵和外延，进一步深化对最大公因数概念的理解。

五、 在变式中，理解概念的层次性

【片断】

教师为每个学习小组提供了一段绳子、一个苹果、一张圆形纸及小刀。

师：请你们分别表示出它们的■。

学生操作后逐一展示他们探究的成果。

师：例题中是一块蛋糕，现在是绳子、苹果和纸片，他们都是不同的物体，为什么所表示的都是各自的■？

学生讨论后回答，教师相机进行补充。

教师又让学生拿出一张长方形纸，先折一折，然后把它的■涂上颜色。

师：他们的折法不一样，为什么都是这张长方形纸的 ■？

教师出示题目后问：哪些图形的涂色部分可以用■ 表示，哪些不能？

【分析】

这是学生第一次接触到分数，由于分数不同于学生已经学习过的整数，不具备“可数性”，同时分数概念具有过程——对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程，分数概念的建立要经历“凝聚”的过程，即由“过程”向“对象”的转化。[6]最终实现二者在认知结构中的共存，所以学生接受起来的难度还是很大的。

为了让学生切实理解分数，透彻把握分数的内涵，教师在例题教学后紧接着就进行了三个层次的“变式”教学。前两个层次是改变分数概念的非本质属性，先是单位“1”的变化，让学生感受到不管是蛋糕，还是绳子、苹果、一张纸等，只要是平均分成2份，每份就是它的■；然后是分法的改变，让学生感受到不论是横着折、竖着折，还是斜着折，只要平均分成2份，每一份就是这张长方形纸的■。这样，学生就会对具体的例证进行辨别、分化，达到抽象、概括，从而逐步抽象出“■”的本质属性。层次三是“非概念变式”，它改变了“■”的本质属性，让学生在正确的例证和不准确的例证（反例）的区分中，思考■产生的基础及过程，提升学生的思辨能力，丰富学生对■的认识。

变式就是从不同角度组织感性材料，变换事物非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括化程度。[7]教师根据变式教学理论所设计的三个层次，逐层递进，既让学生经历了分数概念的产生、发展、形成的过程，又让学生在逐渐进阶的变式中剥离出概念的本质属性和非本质属性，对分数概念的认识逐层上升：由模糊到清晰、由感性到理性、由形象到抽象、由具体到深刻，经历了从动作思维到形象思维再到抽象思维的飞跃，切实体验到了理性思维的深刻和完美，实现了从“■”的现实原型到“■”的数学模型的建构，充分理解了概念形成的层次性。

参考文献

[1] [2]何小亚.数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2003.

[3] 普莱斯顿·D·费德恩.教学方法——应用认知科学、促进学生学习.王锦等译.上海：华东师范大学出版社，2006.

[4] 沈建国，冯金顺.小学数学课程教学论.郑州：郑州大学出版社，2008.

[5] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程.上海：上海教育出版，2009.

[6] 郑毓信.数学思维与小学数学.南京：江苏教育出版社，2008.

[7] 张兴华.重提数学教学心理学.教学大道——写给小学数学教师.北京：高等教育出版社，2010.