试题探究深挖习题激活思维

王正超

[摘 要] 对教材习题进行变式、挖掘、探究，既能抓住数学的本质，加深数学理解，又能提高解题能力，还可以发展学生思维的广阔性、深刻性、灵活性，使习题的价值达到最大化. 本文从一道课本习题开始，对其进行引申、拓展与探索.

[关键词] 数学习题；拓展研究

教材中的习题是经过编者精心设计的，具有一定的代表性和探究性，有拓展、开发和挖掘的空间. 将这类习题进行不同角度、不同层次、不同背景的变换、延伸和拓展，一方面，能较好地发挥习题的作用，完善知识结构、梳理知识网络，有效地避免题海战术，有利于学生巩固基础知识；另一方面，能够培养学生的创新能力和敢于猜想、勇于探究的创新精神，从而增强学生的学习兴趣，开阔他们的视野，丰富他们的思维，提高他们的数学素质. 所以，为了体现“不同的人在数学上得到不同的发展”，凸显从“被动”接受式学习向“主动”探究式学习的转变，应将习题的利用价值达到最大化.

课本习题（人教社2007年第2版课标教材七年级数学下册） 如图1所示，△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线BE和CF交于点O，求证：

探究与猜想

探究1 如图2所示，∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线相交于点 O，试探究∠BOC与∠A有怎样的关系，并说明理由.

探索与推广

通过以上探究可以得出以下性质.

1. 凸四边形

性质1 在凸四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线交于点O.

性质2 若凸四边形的一组对角相等，则另一组对角的平分线重合或平行.

解析 （1）当点C与点A关于对角线BD对称时，∠ABC，∠ADC的平分线重合为对角线BD.

（2）当点C与点A关于对角线BD不对称时，如图8所示，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，∠ADC的平分线DF交BC于点F，因为∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°，且∠A=∠C，∠ABC=2∠ABE，∠CDA=2∠FDA，所以∠A+∠ABE +∠FDA=180°，即∠BED +∠FDA =180°. 所以BE∥DF.

2. 凹四边形

性质3 在凹四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线交于点O.

教材中具有较强典型性和迁移性的题目还很多，它们是知识发生、发展的源泉. 对其进行拓展、引申，不仅能让学生加深对该习题的理解，同时能减轻学生的学习负担，使其从“题海”中解脱出来. 总之，教师设计例题的时间花得多一些，学生练习的时间就会少一点；设计的例题精一点，学生就会学得活一点、好一点. 所以，对教材中的一些好题，教师不妨小题大做一番.