二次函数的最值问题研究

王伯平

二次函数是中学数学一个非常重要的内容，二次函数的最值问题一直都是高三复习和高考的重点、热点.这其中涉及到动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间等几种常见的情况，二次函数的最值问题主要是从二次函数的开口方向、对称轴、给定区间来进行研究，当这三者中有不确定因素时，往往需要配方、分类讨论与数形结合.在研究二次函数的最值问题时，既能提高学生综合应用函数性质的能力，又可以提高学生配方、计算的能力；更为重要的是可以培养学生分类讨论与数形结合的思想方法，促进学生研究性学习. 本文以具体实例说明具体的求解方法.

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.