空间动点轨迹的求解策略

王思俭

纵观近几年的各地的高考与模拟试题中，涌现出许多小、巧、活的新颖试题，命题的立意在于着重考查学生思维的能力，后继学习的潜能.如2008年浙江卷第10题、湖南卷第8题、2013年天津模拟卷第8题等都是空间中的动点轨迹问题，它与平面上的动点轨迹问题有明显的差异，利用常规的求轨迹方法是无法解决的，因此应跳出常规思维的圈子，从试题的结构特征、动点的位置入手，寻找解决问题的突破口，进行定性的合情推理，方能准确、迅速地判断答案.常用的求解策略有：直觉法、定义法、推理法、解析法等.

一、 直觉法

直觉法就是根据试题的结构特征，对动点的位置进行分析，从而排除题目中的选项，得出正确答案.通常要取特殊点、特殊图形、特殊数字加以分析，有的情况需要进行不止一次的尝试方能得出答案.

解析：采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C与D，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！

解题回顾：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，本题考查平面与圆柱面的截面性质的判断，注意截面与圆柱的轴线的不同位置时，得到的截面形状也不同.由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.

解题回顾：考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及立体几何、余弦定理与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化.

三、 推理法

有的试题无法利用定义求解，通过分析动点的特征，发现动点的变化引发出一个平面或直线与另一个平面或另一条直线的位置关系，于是动点的轨迹就转化为空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，再利用公理、判定定理与性质定理等结论，继而推证出动点的轨迹.

例5（2006·北京）平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（）

解析：设不在该对角面上的一个顶点为A，在该对角面上的某个顶点为B，

若P点到A的距离为P点到B点距离的2倍，则P点的轨迹为一个球，又由题目中P点是正八面体的一个对角面上的一个动点，该平面截上述球所得的轨迹为一个圆.故选A

解题回顾：本题考查的是到两个定点的距离的比为定值的动点轨迹，由阿波罗尼圆问题，我们可以类比推断出在空间中到两个定点的距离之比为定值的动点轨迹为一个球，结合P点是正八面体的一个对角面上的一个动点，故我们可将问题转化为一个平面与球的截面形状判定问题，结合球的几何特征即可得到答案.

四、 解析法

从题目的几何体是长方体、正方体、三条侧棱两两互相垂直的三棱锥等，我们可以考虑建立平面（或空间）直角坐标系，找出相关的等量关系式，建立动点的坐标x、y之间的关系式，从而找出动点的平面上的轨迹方程.体现了解析几何的基本思想—解析法.

例7（2011.福州模拟）已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，满足p到β的距离是到p到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值为（）