由相交两圆“公共弦”引发的思考

刘建伟　范菁

学习圆与圆的位置关系时，在人教版必修②第129页例3中，判断两圆的位置关系采用两种方法，第一种方法是用代数法判断，在这种方法中联立方程组时先用两圆方程相减得到一个二元一次方程，进一步求解可得到方程组的两解，这两解也是二元一次方程的解，也就是说二元一次方程表示的是两圆公共弦所在的直线方程.

即方程⑥表示的是与相离两圆的切线长相等的点的轨迹方程.方程⑥中的解（x，y）对应的点都是两圆外的点，并非是两圆上的点.此时方程③表示的真正几何意义就是与相离两圆的切线长相等的点的轨迹，方程③被认为是由两圆方程相减得到的有点不妥.

可得点P的坐标也是方程⑥的解.即此时方程⑥表示的是相切两圆的公切线l的方程.方程⑥中的解（x，y）对应的点除切点是两圆与直线公共的点之外，其余的点都是两圆外的点.显然方程③表示的真正几何意义就是与相切两圆的切线长相等的点的轨迹，方程③也并非由两圆方程相减得到的.

可得点P的坐标也是方程⑥的解.即方程⑥表示的是相交两圆的公共弦所在的直线l的方程.方程⑥中的解（x，y）对应的点除两交点是两圆与直线的公共点之外，其余的点都不是两圆上的点，显然方程③表示的真正几何意义就是与相交两圆的公共弦所在的直线，方程③也并非是由两圆方程相减得到的.

由以上推证可知非同心的两圆的方程均可得到一条直线的方程.当两圆相离时，这条直线上的任一点与两圆的切线长相等.当两圆相切时，这条直线就是过切点的公切线.当两圆相交时，这条直线就是两圆相交弦所在的直线.显然直线方程上的所有点不都是两圆上的点，如果生硬的让直线方程就是两圆方程相减得到的，实在不妥，它们只是形似而神不是.