培养例谈函数定义域在数学思维品质上的培养

王鹏

【摘要】思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现.它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质.函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终.在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的.

【关键词】高中数学；函数的定义域；思维品质；培养

函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途.为此，笔者从函数的定义域入手，探讨了如何培养学生的数学思维品质.

一、函数之解析式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的.例如，某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100 m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式.

解 设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

S=x（50-x）.

故函数关系式为：S=x（50-x）.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围.也就是说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0 即函数关系式为：S=x（50-x），（0 这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好的思维严密性.

二、函数之最值问题与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题.如果不注意定义域，将会导致最值的错误.例如，求函数y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最值.

解 ∵y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，

∴当x=1时，ymin=-4.

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-b2a （2）当-b2a>q时，y=f（x）在[p，q]上是单调递减函数，f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；

（3）当p≤-b2a≤q时，y=f（x）在[p，q]上的最值情况是：

f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值.

故本题还要继续做下去：

∵-2≤1≤5，∴f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，f（5）=52-2×5-3=12.

∴f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12.

∴函数y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最小值是-4，最大值是12.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性.

三、函数之值域问题与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.例如，求函数y=4x-5+2x-3的值域.

错解 令t=2x-3，则2x=t2+3，

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78.

故所求的函数值域是78，+∞.

剖析 经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在＼[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是＼[1，+∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性.

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析的能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性.

【参考文献】

[1]王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京海洋出版社，1998.

[2]田万海主编.数学教育学.杭州：浙江教育出版社，1993.

[3]庄亚栋主编.高中数学教与学（99.2、99.6）.扬州：中学数学教与学编辑部出版，1999.