学做创·玩几何

陈军 卢建华

【课例回放】

一、问题驱动，提出猜想

师：魔方中蕴含着神奇的几何知识，想一探究竟吗？

教师依次出示图片，并询问体积大小（如下图所示，每个小魔方体积为1 cm3）

师：要想知道长方体体积是多少，只要——

生：看长方体包含多少个体积单位。

师：能一下子说出这个正方体的体积吗？（如右图所示）

生：5×5×5=125 cm3。

师：猜想一下，长、正方体的体积可能与什么有关？什么关系？

生：与它的棱长有关，长方体体积=长×宽×高，正方体体积=棱长×棱长×棱长。

师：是这样吗？我们一起来研究。

二、实验验证，建立模型

师：拿出准备的1 cm3小魔方，分组实验。

实验一：用12个1 cm3小魔方拼成形状不同的长方体，验证长方体体积与长、宽、高之间的关系。看谁拼的方法多？

实验二：选若干个1 cm3小魔方拼成形状不同的长、正方体，思考如何计算长、正方体体积？如有困难，一起讨论。

教师巡视，参与合作，启发引导，调控进程。操作实验二时，有学生举手。

师：有什么问题吗？

生：我们组想拼一个大一点的长方体，可小魔方个数不够。

师：不够？那怎么办呢？

生：两个小组合用。

生：我们想拼一个很大的长方体，两个小组合起来也不够。

师：那该怎么办？动脑再想想？

师：谁愿和全班同学交流一下长方体体积和长、宽、高的关系？

生：我们发现长就是每排块数，宽就是排数，高就是层数。长方体体积就是体积单位的个数，长方体的体积=长×宽×高。（表略）

生：正方体棱长都相等，因此，正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

生：用字母表示——V=abh，V=a3。

生4：我们还发现——长方体体积=底面积×高。（推理如右图所示）

师：老师很想知道，刚才有同学说小魔方不够，怎样解决的？

生：我们把一些位置空出来，但在大脑中创造一个完整的长方体。（如图所示）

三、拓展应用，解决问题

小达想用一块长10 cm、宽8 cm的长方形纸板做一个无盖盒子（不考虑接缝）。如果按照右图那样切掉4块相同的小正方形，再沿虚线折叠即可。但这样浪费了4块小纸板。如果不浪费材料，可把原纸板进行切割，再折叠成一个无盖盒子。

请你帮他设计制作图，并标出相关数据。比一比，看谁设计的盒子体积最大？

师：谁愿向全班同学介绍一下你的创意？盒子的体积是多少？

全班出现多种意想不到的创意（如下图所示）。

【透视解析】

一、以经验为基础，在游戏中学习，为课堂增添活力

学习者已经知道的即为经验，它是儿童认知的基础。课程标准把“几何课程”先后更名为“空间与图形”“图形与几何”，其实也是几何学科体系对儿童经验的适度妥协。因为“经验”是有力量的，经验的积聚可有效增添认知活力。儿童的思维正处在由直观形象为主向抽象逻辑为主的过渡阶段，这与人们最早在生活实践中认识几何图形的过程相一致。借助观察、感知、操作、思考，研究现实生活中物体几何属性与变换，以图形为重点，知觉其方向、距离、大小、形状等元素，能有效激活儿童大脑中的经验储备，对接生活经验与学科知识，在空间直觉基础上形成大脑表象，主动建构对客观图形世界的认识。课例中，教师充分认识到几何知识来源于丰富的现实原型，基于儿童现实经验来设计教学活动。魔方中既有长方体也有正方体，可拆可装、可拼可组。本是玩具，借作学具，顺应了儿童的天性。

二、以操作为核心，在思考、操作中体显张力

学生学习几何，并不是一味识记图形的名称、形状、性质、公式，而是通过具体的操作活动去感知、发现，最终建构正确的空间形式和关系。因此，空间观念的建立只靠观察是不够的，还必须进行具体的操作活动，在搭、折、剪、拼、量、做、画等过程中，视觉、听觉、触觉等多种感官配合大脑思考全方位协同运作，形成相应的空间表象，完成对具体对象的抽象，建立和发展空间观念。课例中，教师顺应儿童爱玩好动的天性。设计两个层次实验，一是拼指定体积形状不同的长方体，验证猜想，初步建立公式模型；二是自选小正方体个数拼体积不同的长方体，进一步深化对模型关系的认识。开放的空间、时间，显得韧性而有张力。因为学生获得知识的过程不是一蹴而就的，需要在反复实践中不断修正、深化。两次动手实验，学生的思维不断地向纵深处漫溯，有效地发展空间观念。

三、以想象为关键，在操作中发展潜力

想象是数学思维的基本要素，是数学认知活动中的重要环节。各种数学新观念的产生过程，或多或少都有想象的介入。学生通过想象能直接、有效地获得图形的形状、大小、位置、距离的表象，在大脑中建立没有大小的点、没有粗细的线、没有厚薄的面等概念表征。几何学习活动中，空间想象是儿童重要的学习方式，是其发展空间思维、建立空间观念的关键因素。课例中，教师让学生经历观察、操作、思考，建立体积公式模型，想象形影不离地伴随左右。操作中，教师捕捉到“拼一个大长方体，小魔方不够用”这一极有价值的生成性资源，适时介入，引导交流，激活思维，学生竟然联想到把一些位置空出来，在大脑中创造一个完整的大长方体，很好地发展了空间想象能力与抽象能力。

四、以推理为渠道，在愉快的创造中提升学力

推理是学习和生活中经常使用的思维方式，也是数学的基本思维方式，推理能力的发展贯穿于整个数学学习的全过程。小学生的几何学习中，有合情推理也有演绎推理，二者相辅相成。从已有事实出发，凭借经验、直觉，通过归纳、类比等推断体积公式模型属合情推理，而运用体积公式解决实际问题属演绎推理。小学生几何学习过程中的推理很大程度上是依赖直观而展开的，其几何推理能力主要是在图形的变换、转化等过程中得到发展的。课例中，教师引导学生在观察、操作、想象、推理交流中，通过比较、分析、抽象、概括、归纳、类比等活动，建构体积公式模型，发展空间观念。应用环节，教师又精心设计开放性问题情境，让学生帮小达设计长方体盒子制作图，尝试用二维平面图形刻画三维立体图形，在二维平面图形转化为三维立体图形的过程中，学生再次经历观察操作、想象推理、表达交流，感知体验图形与几何的现实意义，建立并发展空间观念。比一比谁设计的盒子体积最大，充分激发学生的聪明才智，在更广阔的空间里促进学生个性化思考与探索。

（作者单位：江苏省淮安市浦东实验学校 江苏省淮安市人民小学 本专辑责任编辑：王彬）