品味椭圆中的数学美

许彪

摘 要：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的美学价值，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，促使学生形成正确的数学观。本文从新课改的需要出发，并结合笔者的教学实践，对椭圆中所蕴含的数学美做了初步探讨。

关键词：椭圆；数学美；探究活动

华罗庚教授说过：“就数学本身来说，也是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的。”所以，数学是一门富有美感的学科。

1椭圆的数学美

人的爱美天性在青少年时期表现尤为突出。数学教师应抓住这个最佳时期，不失时机地向学生揭示数学之美，对学生进行审美教育。

1.1简洁美

数学之所以吸引人，原因之一是它能对纷乱繁杂的数学现象进行高度概括，使学习者能从中感受它的简洁美。在数学语言的研究中，按数学语言所使用的主要词汇，可以将数学语言分为三种：文字语言、符号语言、图形语言。

椭圆的定义：如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。每个词、每句话简练、严谨且相互作用、相互联系，对椭圆定义进行了完美描述，从而体现了数学的简洁美，这也是数学语言形式美与内在美的表现。

椭圆中的符号语言简洁、明了。如椭圆概念的符号表示P={M|∣MF1∣+|MF2||=2a，2a>|F1F2|}，关系紧凑，言简意赅；椭圆的两个标准方程具有简单整齐之美；离心率e■，简洁易记。

1.2对称美

对称是美学的基本法则之一。椭圆有两条互相垂直的对称轴及一个对称中心，被赋予了平衡、协调的对称美。

1.3比例美

众所周知，著名的“黄金分割法”揭示了一种最优美的线段比例关系。如果把“黄金分割法”引入图形，那么就会产生最优美的视觉效果。椭圆也是如此，离心率为■的椭圆被称作“黄金椭圆”，给人以美的享受。

1.4方法美

方法美是指在解答（或证明）复杂的数学问题中体现出来的美。二次曲线的定义揭示了二次曲线的本质属性。许多时候，恰当地利用定义能帮助我们解题。直线与椭圆的位置关系有一般方法，但涉及中点弦的问题时还可以用点差法。

1.5奇异美

数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法表现出令人惊讶的奇异美。我们都知道：用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到的截口曲线是椭圆（如图1）。如果我们沿圆柱的某一条母线剪开，将侧面展平，可以看到截口曲线就是一条三角函数曲线。

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数学的研究对象是数、形、式。数的美、形的美、式的美随处可见。椭圆的数学美还不仅于此，它贯穿于椭圆的方方面面。

2品味椭圆的数学美

数学美是抽象的、精炼的，不像艺术美那样外显。对于学生来说，由于受年龄、知识水平、审美能力的限制，很难把数学美的真正意蕴充分体会出来。因此，教师必须改革数学课堂模式，让学生综合运用眼、耳、手、大脑，让数学的学习过程变为发现数学美的过程。

2.1品味椭圆定义的数学美

2.1.1品味椭圆定义的简洁美

教师可以创设问题情境，通过对一些工具、模型的动手操作，引导学生自主探究数学知识。

课前准备：两位学生为一组，准备两枚图钉、一条不能形变的细线、一张白纸、一支铅笔。

具体操作：请一组学生上讲台操作，其他学生在下面操作，学生通过操作总结结论。

（1）把绳子固定在黑板上，要求绳子不绷紧，然后拿粉笔把绳子拉紧并在黑板上画图，观察一下得到的图形是什么？你能找到在操作过程中的不变性吗？

（2）若刚才固定绳子时，把绳子绷紧了，又会得到怎样的图形呢？

（3）钉在黑板上的两个钉子的距离能比绳子长度大吗？

通过课堂活动，学生能感悟到图形的几何性质。学生通过观察图形运动，能够很自然地应对操作中所产生的问题，从而体会到椭圆定义的简洁美。

2.1.2品味椭圆定义的应用美

火腿截面、篮球影子是椭圆的形象在生活中的写照。教师可以设计一堂“火腿截面、篮球影子与椭圆”的研究课。

课前准备：

（1）圆柱形火腿一根，小刀和剪刀各一把；

（2）观察篮球在阳光下的影子的形状。

具体操作：

（1）用小刀把火腿切成两段，观察火腿截面形状；

（2）讨论火腿截面与篮球影子两者之间的联系；

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（3）阅读探究与发现：为什么截口曲线是椭圆？证明火腿截面与篮球影子的形状是椭圆。

（4）请大家吃掉火腿，并且不要弄破火腿皮。然后把火腿皮压扁，用小刀裁开，再把它展平，观察原来的截口曲线的形状。

通过研究活动，学生能根据抽象的几何模型概括出相应的数学问题，利于培养学生的数学建模思想和转化思想，利于提高学生获取、收集、处理信息的能力，使学生获得参与研究探索的情感体验，从而体会到椭圆的简洁美、奇异美。

2.2品味椭圆方程的数学美

到平面内两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。要根据已知条件，求椭圆的方程，可建立适当的坐标系。

2.2.1通过坐标系的选择，感悟椭圆的对称美

坐标系是构造数与形的桥梁，它选择的合适与否直接影响曲线方程的构造。教师要让学生通过讨论、交流，并类比圆及其标准方程推导的过程，建立合适的坐标系，从而让学生感悟椭圆对称美的应用。

2.2.2通过要素的选择，感悟数学符号的简洁美

建系后，将条件转化成关系式，要用到椭圆定义中“到平面内两个定点F1、F2的距离之和”这个常数。而將关系式转化成数学代数式要用到两个定点F1、F2的坐标。这就需要将“到平面内两个定点F1、F2的距离之和”和|F1F2|用字母表示。

以经过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图2）。设M（x，y）是椭圆上的任意一点，焦距是2c（c>0），M与F1，F2两点距离之差绝对值等于常数2a.

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在教学过程中，教师可以提出为什么要取“2c”与“2a”，而不取“c”与“a”的问题，让学生在反思中感悟数学符号的简洁美。

2.2.3通过方程的推导，感悟椭圆的数学美

数学的发现和创造，反映了客观世界的数量关系和空间形式。衡量一个结论是否成立，不仅有实践标准和逻辑标准，还有美的标准。当一个结论尚未达到美的境界时，就必須继续改进，按照美的规律来制造。

按椭圆的定义可得：

P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}

将坐标代入得方程■+■=2a.

此方程可作为椭圆方程，但它不符合简单性原则。因此，教师可以将方程整理为■+■=1。此时的方程简单多了。但是，椭圆具有对称性，它所表示方程也该有对称性。于是，由于a2-c2>0，故令b=■，即得■+■=1，此方程是如此简洁优美。

至此，学生明白：一开始选择“2c”“2a”正是为了追求简单美，而产生b是人为制造的。但实践证明，b正好是椭圆短半轴，又具有鲜明几何意义。如此教学，通过深入挖教材中数学美之因素，教师既能阐明问题的本质，又能提高学生的审美能力，增强学生的创造意识。

平面直角坐标系推导出来的方程具有对称美——只有x、y的二次项和常数项，为利用方程研究椭圆的对称性奠定了基础，使学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法：-x代x后方程不变，说明椭圆关于y轴对称；-y代y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；-x、-y分别代x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称。这样，数与形的结合就得到深化，学生感受到对称图形的内在美，在美的体验中享受到审美的乐趣。

2.3品味椭圆性质的数学美

教师可创设问题情境，让学生自主探究如下问题：方程16x2+25y2=400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？

学生活动：

（1）列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中得到椭圆的范围问题；

（2）求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；

（3）方程变形，求出a，b，c，联想椭圆画法，利用绳子作图；

（4）只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；

最后，通过实物投影，教师展示画图过程，挖掘学生的原有认知，提高学生的思维能力，从而达到数与形的统一，体现出数学的和谐美。

3在生活中应用椭圆的美

数学起源于生活，也应用于生活。例如：从椭圆的一个焦点发出的光线在经过椭圆周反射后，反射光都经过椭圆的另一个焦点。电影放映机的聚光灯有一反射镜，它的形状是旋转椭圆面，正是应用椭圆的光学性质。“黄金椭圆”具有优美的视觉效果，将某些金银首饰等做成“黄金椭圆”形，更能给人以美的享受，如幸运草LSL-236幸运草手环体现了椭圆之美。

椭圆是圆锥曲线的一种。通过对椭圆美的探讨和研究，不仅有助于提高学生对圆锥曲线的进一步认识，为双曲线和抛物线的研究奠定基础，还可以提高学生的思维能力，开阔学生的视野，激发学生的学习兴趣。

参考文献：

[1]张嘉谨.解析几何方法·技巧·优美解[M].长春：长春出版社，2004.

[2]刘连璞.平面解析几何方法与研究[M].北京：北京大学出版社，1999.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.