初中数学分类讨论思想在解题中的应用体会

祁永前

摘 要： 分类讨论思想充分体现了归类整理思想及“集零为整，化整为零”思想，是一种非常重要的解题策略与数学思想。在初中数学解题过程中，有效运用分类讨论思想，有利于学生深入理解数学知识之间的内在规律性，对于培养学生思维的概括性、提高学生思维的条理性具有重要意义。本文在简要分析初中数学中分类讨论思想原则的基础上，着重分析了分类讨论思想在初中数学中的应用。

关键词： 初中数学教学 分类讨论思想 应用

一、初中数学中分类讨论思想应用原则

（一）同一性与相称性原则

在初中数学解题中运用分类讨论思想，首先要确定分类讨论的对象，而无需对全部对象进行分类，且分类标准应具有一致性，即不能按照多个不同标准进行分类，主次清晰，不重复、不遗漏。例如，若在对三角形进行分类时，将其分为等腰三角形、锐角、直角、钝角三角形等。这一分类过程中，就同时使用了两个分类标准：角、边，因此这一分类就不科学。同时分类要相称，也即是分类之后，分类子项的并集与母项外延相称。

（二）互斥性与多层次性原则

互斥性原则主要是指在分类之后，各子项应相互排斥，不能使其中的部分事物同属于一个子项。例如，某班学生参加田径与球类比赛的学生共7人，其中参加田径比赛有5人，而球类比赛有4人。由于这7人中，必有2人两项比赛均有参加，若将着7人分类为参加田径与球类比赛两类，则存在逻辑性错误。同时，在初中数学解题中，分类讨论有一次与多次分类讨论之分，在遇到分类情况较复杂的条件下，可采用“二分法”，将讨论的对象分作两个具有层次性的相互矛盾的概念，逐层分类，直到不必分为止。

二、分类讨论思想在初中数学中的应用

（一）分类讨论思想在方程中的应用

解方程是初中数学学习的基础，在解题过程中，可运用方程进行位移、消元或转化运算实现求解。然而在求解方程的过程中，取值的局限性是学生很容易忽视的问题，如指数的幂，含绝对值方程等，往往容易忽略并非所有未知数取值范围皆为实数。同时，在分母中存在有字母的情况下，还必须展开分类讨论等。在教学中，老师必须重点引导学生注意这类问题，并善于运用分类讨论思想进行系统全面的分析，正确解题。例如，在苏教版七年级的“解一元一次方程”的教学中，有如下案例：解方程|3-x|+|x+2|=5。对于这类含绝对值的方程，在解题过程中，通常需要将绝对值内的对象分为三类：负数、正数、零，进行分类处理。老师在教学过程中，要善于引导学生运用分类讨论思想，将该题出现的两个绝对值|3-x|与|x+2|分别进行分类讨论，即对于|3-x|而言，可分为x=3，x<3，x>3三类，而对于|x+2|而言，又可分为x=-2，x<-2，x>-2三类，并将分类的范围在数轴上表示，则将原题转化为以下三类情形。

1.x<-2。此时原方程则可转化为3-x-（x+2）=5，则可得出x值为-2，与x<-2是相互矛盾的，可知此情形下，原方程无解。

2.-2≤x≤3。此时方程转化为3-x+x+2=5，方程恒成立，则在2≤x≤3中的所有实数均为方程的解。

3.x>3。此时方程可转化为-（3-x）+x+2=5，得出x值为3，与x>3相互矛盾，因此，在此情形下方程无解。

引导学生运用分类讨论的思想，对问题进行合理分类，逐类讨论，最终得出该题的结论为满足-2≤x≤3这一条件的所有实数。

（二）分类讨论思想在圆中的应用

在初中数学教学中，圆的对称性、圆与圆、圆与直线，以及圆与正多边形之间的关系是教学中的重要内容。而在圆的对称性及位置关系的解题过程中，分类讨论思想是经常运用的解题思想，它对于使学生更明确题目中的变量及两图形的距离问题等具有重要意义。例如，在苏教版九年级“圆的对称性”的教学中，有如下问题：已知4cm与5cm分别为两个相交圆的半径，6cm为其公共弦长，求两个圆的圆心距。在解题过程中，由于题目中的图形具有不确定性，因此要运用分类讨论的思想进行解题。根据圆的对称性可知，公共弦既可以在两圆心同旁，又可以在两圆心之间。因此，在解题过程中，可根据圆的对称性的知识，对原题展开分类讨论。

运用分类讨论的思想进行讨论，在解题过程中，不仅培养了学生的分析与归纳能力，而且对于发展学生的概括性思维具有重要作用。

（三）分类讨论思想在三角形问题中的应用

初中数学中，在解决三角形问题中，也常常运用到分类讨论的思想。例如，在题目中，已知的条件不明确，如题目中，已知两边长且图形为等腰三角形，求该三角形面积为周长。在此条件下，并不明确已知条件中，哪条为底边长，哪条为腰，此时就需进行分类讨论，假设其中一条为底边，另一条为腰，进行分类讨论求解。例如，在学习苏教版三角形的相关知识的过程中，有如下例题：已知3cm与4cm分别为直角三角形的两边长，试求第三边长。在此题，则需分为4cm为斜边长或者为一直角边长两类情况，分别求出第三边长为：cm或5cm。

在初中数学解题过程中，运用分类讨论思想的关键在于明确分类讨论原因、讨论对象与标准，并根据可能的情况进行合理准确的分类，以此进行逐类求解，综合归纳，从而正确解决问题。加强分类讨论思想的运用对于培养学生思维的概括性、缜密性和条理性具有重要意义。

参考文献：

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