试谈“图形直观”的表现形式及教学策略

李玲玲

孔凡哲和史宁中教授提出：“几何直观是借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。”从这里可以知道，几何直观与“图形”是密不可分的。孔凡哲教授认为，在中小学数学中，几何直观具体表现为四种表现形式：实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观。而在小学数学教学中，图形直观发挥着重要的作用，图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。图形教给学生用直观图示描述问题的方法，是发展学生直观感受力的重要途径。本文拟从图形直观的表现形式及教学策略入手，谈谈自己的几点思考，就教于方家。

一、 小学数学中图形直观的几种表现形式

在小学数学中，图形直观的常见表现形式主要有以下几种：

1.线段图

在各种版本教材中，画线段图仍然是引导学生解决问题的一种辅助策略。在问题解决过程中，利用线段图将题中蕴涵的抽象的数量关系以形象、直观的方式表达出来，能有效促进问题的解决，这已成为许多数学教师的普遍共识。比如，在解决问题时，借助线段图（如图1）可以帮助学生分析数量关系，明确各部分间的关系。

2.方形图

方形图是一种借助长方形来分析数量关系的图形。比如，在学习乘法分配律时，可以引导学生观察长方形图（如图2），ac表示的是哪部分面积？bc表示的是哪部分面积？大长方形的面积可以怎样计算？通过学生的观察、思考，在头脑中构建出了一个乘法分配律的思维图形，这样可以避免出现类似（a+b）c=ac+b的常见错误。又如，在解决面积变化问题“开心农场有一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。你知道原来试验田的面积是多少平方米吗？”时，引导学生借助方形图（如图3）来思考，能帮助学生化解困难，更容易找到思维的切入点。

3.模型图

新加坡把数学模型方法作为重要的解题策略，不仅教材中有许多范例，作业中也要求学生用图形展示其思考过程，并将其作为新加坡的数学教学特色和重要的学习策略积极向外推介。这一方法是要求学生画出图片模型来表征题目中的数量（已知和未知的）以及数量之间的关系（部分——整体或比较），来帮助他们形象化数量关系以解决问题。比如，在解决问题“一个筐子，4块大鹅卵石和2块小鹅卵石共重千克。一个筐子，2块大鹅卵石和1块小鹅卵石共重千克。一个空筐子重多少千克？”时，老师这样引导学生画图并思考（如图4）。新加坡小学数学模型方法与我国的线段图在教学效果上有异曲同工之妙，但模型图更符合儿童的认知特点，帮助学生沟通形象与抽象的联系。

4.集合图

集合图就是文氏图，也称韦恩图，是用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形。运用集合图，能帮助学生理清信息之间的逻辑关系。例如，在学习方程的意义时，借助集合图（如图5）可以帮助学生理解“方程一定是等式，但等式不一定是方程”的意义。

5.关系图

这样的图能帮助学生厘清问题中蕴含的逻辑关系。例如，在教学人教版五年级下册“打电话”一课时，可以引导学生画图（如图6）来表示出思维过程，这样有助于厘清思路，从而计算出“打电话所需要的最少时间”。而北师版教材《成员间的关系》中有两个图（如图7），左图是带情境的说明图，右图只是关系的呈现，就更加结构化了。

6.示意图

这里有两种情况，一种是用普通的图形来代替问题中的事物，比如“白兔有2只，黑兔有8只，黑兔的只数是白兔的几倍？”（如图8），可以用圆形来代替白兔和黑兔的只数，从而找出它们之间的关系；另一种是用简笔画的形式，描述出问题的信息。又比如“气象组有12人，摄影小组人数是气象小组的航模小组的人数又是摄影小组的，航模小组有多少人？”有学生画出下边的图（图9），在这个图中，学生对分数的意义理解是非常清晰的。

7.替代图

替代图是依据儿童的思维特点和认知水平，用自己能理解的图形或符号来帮助理解题意的图形。这样的图形在儿童学习过程中经常出现。如图10，学生用线段的形式，模拟出钟面时间的进程，这是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，形成半符号化的直观。

又如，求平均数问题“有8个数，从小到大排列，前5个数的平均数是46，后4个数的平均数是68，问第5个数是多少？”时，引导学生画图整理信息，有学生用字母替代数（如图11），这样，就能很直观地看出“第5个数在两句话中的位置”，有效地找到了解决问题的切入点。

直观，通常没有经过严格的逻辑推理，却往往能把握对象的全貌和本质。借助几何图形的直观，常常能发现图形之间的关系，甚至会产生对相关数量之间关系的猜想，在研究数学问题的过程中，几何直观有时能使问题变得简明。从以上各类小学数学学习过程中出现的图形可以看出，画图是一个“去情境化”的过程，能够直观呈现数量关系，是帮助学生理解数学问题的重要补充，有利于学生对问题的理解；数学中的图形是一种最简单的数学语言，体现了一种数学的简洁美；画图是对现实中数学问题不断抽象的过程，有助于培养学生的抽象能力，以及抓住问题本质寻找解决策略的能力。因此，在小学数学学习过程中，应重视学生图形直观意识与能力的培养。

二、 小学数学教学中图形直观的教学实施策略

史宁中教授说：“直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强”，“只有把‘先天的存在与后天的经验有机结合起来，才能形成人的直观能力”。虽然学生的几何直观有先天的成分，但后天的有意培养与强化，能使孩子的几何直观得到有效发展。以下谈谈小学数学学习过程中图形直观教学的实施策略。

1.有机结合，几何直观应渗透在各个领域的教学中

培养和发展学生的几何直观是数学课程“图形与几何”领域的核心目标之一，这也是之前数学课改关注比较多的。但教师应明确，“几何直观”并不仅仅与“几何”相关，在数与代数、统计与概率、综合与实践活动领域都应该抓住契机，有意识地渗透在日常的教学环节中。比如，在统计与概率的教学中，利用条形统计图能很好地帮助学生理解求平均数问题“移多补少”的道理。

2.开发课程，培养学生的图形直观意识

在各种版本教材中，苏教版教材在四下安排了《解决问题的策略——画图》，引导学生学会用方形图来解决有关面积变化的数学问题，除此之外，与其他版本教材一样，对于培养学生的图形直观意识和能力大都借助于具体的教学内容，采用有机结合甚至是渗透式的方式，并不作为单独的教学内容。可以说，教师在教学过程中，如果没有对图形直观充分的重视，图形直观的培养就有可能陷入“可有可无”的尴尬状况。因此，作为教师，应该在解读现有教材的基础上，开发设计有利于培养学生图形直观能力的课程。江苏育才小学蔡月珍老师给三年级学生上的《画图学数学》一课，为我们做了很好的示范。蔡老师自主设计教学内容，引导学生感受画图的优势，掌握画图的策略，她引导学生经历了“美术图”到“数学图”的变化过程，从实物直观（课件模拟情境）到符号直观再到图形直观，学生不仅经历了思维的发展过程，而且深刻地感受到了数学图形的“简洁美”。除此之外，线段图可以适当强化，新加坡的模型图也可以适当借鉴。当然，这需要教师树立新的数学课程观。

3.呵护个性，尊重学生的“独特”图形

曾几何时，线段图是小学数学学习过程中必过的一关，有些教师强求学生一定要画出规范的线段图再解题，因此使不少学生“望图生畏”，对画图产生厌烦，也影响了学生画图的积极性，几何直观的培养也无从谈起了。我认为，针对儿童喜欢求异的心理，可以允许学生画有个性的图形，教师应充分地呵护学生的这种几何直观意识，尊重并欣赏学生的个性化图形。而这也往往能给教师带来很多惊喜。比如，在解决问题“一个人带两只桶去河边取水，一只桶能装3千克水，一只桶能装5千克水。现在要取4千克水，应该怎样做？”时，我班学生出现了下面的图文表示方法。（如图13、14）