例谈教材跨度与深度的把握

方翠琴

一、 教材循序渐进的利与弊

苏教版小学数学教材在编排上从数与计算、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用（现已调整为数与计算、图形与几何、统计与概率、综合与实践）四个维度体现循序渐进、螺旋上升的特点。先以《认识分数》为例，看教材的渐进性：

三年级上册《认识分数》让学生结合具体情境初步理解分数的意义，认、读、写简单的分数。先教学几分之一，再教学几分之几，然后教学同分母分数（分母小于10）的加减计算。

三年级下册《认识分数》包括两方面内容：一是把由若干个物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几这样的分数表示这个整体里的一份或几份。二是应用对分数的理解，解决求一个整体的几分之一或几分之几是多少个物体的实际问题。这两个内容，前者是重点、是基础，后者为前者服务。

五年级下册《认识分数》，在三年级教材初步认识了分数的基础上继续教学分数的意义，涉及的有关知识比较多，大致分成五部分编排。

第36～37页 分数的意义和分数单位。

第38～43页 真分数与假分数，用分数表示两个数量的关系。

第44～46页 分数与除法的关系，用分数表示除法的商。

第47～50页 带分数，假分数化成整数或带分数，分数与小数相互改写。

第51～54页 全单元内容的整理与练习。

此外教材还安排了《分数的基本性质》和《分数加法和减法》的学习内容。

六年级上册学习内容有《分数乘法》、《分数除法》、《分数四则混合运算》。

从以上罗列中不难看出，教材由浅入深、由易到难、循序渐进，系统安排了分数相关知识的学习内容，这样安排既便于教师的“教”，更利于学生的“学”。

而对有些学习内容，这种“蜻蜓点水”式的教学有时会显得浮于表面，学生学得倒是轻松，但解决问题时就明显感觉知识辐射不够；教师教学时会有种“手脚被困”的感觉，讲透了，知识“跨度”偏大，超出了教学内容；不深究，不便解决问题，“深度”达不到，无法拓展。

二、 “渐进”形成的跨度构成了对深度的制约

以《图形与几何》板块中“认识物体”为例，看看“渐进”形成的跨度对深度的制约：

教材安排一年级（上册）认识“体”，一年级（下册）认识“形”，这是从儿童的认知规律出发，重组学科的知识体系。人们认识事物一般是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究。客观世界最常见的是各种形状的物体，其“面”是附着于“体”上的。儿童首先看到的是一个个物体，在整体感知“体”的基础上，才能逐渐研究“面”，建立“形”的概念。所以，先认识“体”，后认识“形”能降低认知难度，有利于学生学习。一年级下册教学直观认识长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形。教学要求是：整体感知每种图形的形状，形成初步的表象；能识别各种图形，在常见物体上找到这些形状的面，并说出它们的名称；能用简单的方法制作这些图形，初步感受图形的变换。不细致研究图形的边和角，不用语言描述图形的特征。

二年级（上册）继续教学直线图形，使学生知道图形的边，初步认识四边形、五边形、六边形，感受图形的变换。

二年级（下册）《认识角》。

三年级（上册）《长方形和正方形》。

四年级（上册）《平行和相交》。

……

一年级（下册）的《认识图形》，是在学生直观认识了长方体、正方体、圆柱等几何体的基础上，通过一些实践操作（用积木画、纸折、钉子板围、方格纸画），教学生直观认识一些常见的平面图形：长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形，教材只是作了“直观认识”“初步感知”的基本要求（直观认识平面图形，初步感知平面图形的基本特征），教学目标似乎也不难达到。

但在实际教学中，学生的作业却常会出现一些状况，画图形时，长方形、正方形、平行四边形无法辨别，分析其原因如下。

1.学生态度不端正，难以画出标准图形

少数学生缺乏认真的态度，画图时不用尺，随手画，这样即使在方格纸上也不可能画平直，更何况是在“找规律填空”之类，在白纸上画图形的作业，对一年级学生来说是很难随手画出标准图形的。要避免这种情况，可以通过严格的要求加以改进，严格要求学生画图时一律要用尺。

2.学生不会用尺，无法画出标准图形

有了严格的要求，也不能保证学生画出的图形就很规范。如要求把一个正方形或长方形分成2个三角形时，会出现这样的作业：

很显然，学生用尺画图时不会对准。针对这一情况，教师教学中除了严格要求，还要仔细加以方法指导。

3.学生认识模糊，难以呈现标准图形

对一个仅仅能“初步感知平面图形的基本特征”的一年级学生而言，作业中出现这样不标准的长方形和正方形似乎不足为奇，作为教师的我们，面对这样的作业唯一能说的可能也就是“你觉得这像长方形（正方形）吗？”，只能借助学生对长方形、正方形的初步感知去验证、修改，却给不了明确的修改方法。此时，我们会想：如果学生知道“平行”、“直角”，问题就明朗、易解决多了，可“直角”是二年级下册的内容，“平行”是四年级上册的内容。

当然，这个问题无需明朗化，凭借学生正确的“感知”也是可以解决的。但有些问题却不是“感知”所能化解的。

分成2个长方形 分成4个正方形

分成2个平行四边形 分成2个三角形和1个长方形

这4题，用纸去折一折，学生不会出现多大的问题，无需细说。

但要在图中分一分，就困难得多。以下列作业为例：

学生作业中出现的问题，显而易见是对所学图形边的特点没有把握，而图形的“边”和“角”的特征是三年级上册所要了解的，如果学生掌握了长方形、平行四边形对边相等的特征，只要细心地量一量，认真地画一画，很容易就可以将一个长方形或平行四边形分成2个或几个大小相等或大小不等的长方形或平行四边形，上述问题就不会普遍存在。而要将一个正方形分成4个小正方形要拓展的知识就更多了，除了要知道正方形4条边相等，还要知道“中点”以及如何找出线段的中点，这些显然都超出了一年级的教学内容及教学要求。

显然，教材对知识的“跨度”分割制约了某个阶段对知识“深度”的挖掘。

三、 把握“度”，化解跨度对深度的制约

1.跨度小，将感知的表象“明朗化”

如，认识长方形、正方形、平行四边形时，运用折、剪、拼、围等直观操作，让学生在操作中知道长方形、平行四边形的对边相等，正方形4条边都相等，这样的知识拓展只是让学生对图形特点的感知在直观操作中明朗化而已，不会加深学生的学习难度，反而为解决上述问题提供了便捷。

2.操作难度大，可将拓展的知识“模糊化”

分成4个正方形

将一个正方形分成4个正方形，仅仅知道正方形4条边相等，很难把一个正方形分成4个小正方形，而学生如果能找到每条边的中点，问题就简单多了，为此要让学生知道什么是中点以及如何找中点。知道什么是中点，并不难，而要找出一条线段的中点，对一年级的学生来说，难度并不小，若线段的长度是整厘米数，并且是双数的还比较好找，若长度不是整厘米数或不是双数，则难度更大。对一年级学生而言，操作要求不必太高，只要差距不大，感觉上相等即可。我们可以进行如下的分步操作：

让学生先在方格纸中的正方形上分，这样学生借助方格就能很轻松地分出4个正方形，完成后再让学生观察分割线的位置，知道分割线在大正方形的中间，模糊拓展了“中位线”、“中点”的知识，建立了这样的感知，再要求学生在没有方格的正方形中分时，学生就会通过感知和调整作出较标准的分割。

3.跨度大，则借助操作、感知进行迁移

如：

分成2个三角形和1个长方形

完成这样的操作后，拓展的知识就更多了，知识跨度相对也就更大。学生仅仅感知“长方形相邻的两条边直直的，平行四边形相邻的两条边斜斜的”还不够，需要明确知道：长方形相邻的两条边直直的，是有一定标准的，要成90°，是垂直关系；还得学会画垂线。否则，学生画出的图，很容易就将一个平行四边形分成了2个三角形和1个平行四边形。

可能存在这样的困惑：做这样的练习势必要肆意拔高教材的要求，如若不然，该如何教学生解决这些问题？亦或回避这类练习，降低要求，只限操作，用纸折一折？

回避此类练习或肆意拔高教材要求均不可取，课堂教学中，我利用学生较易接受折纸的现状，启发学生思考：怎样把这种分法画出来？

引导：折三角形的时候，我们是把左下角向右平折，保持下面的一条边重合，并且折痕要经过左上角，怎样确保画出的图也能达到这一要求呢？可以启发学生借助工具。学生借助三角尺，会把三角尺摆成左侧三角形的方位，然后把三角尺向右翻转，并使翻转后的三角尺下面的边和图形的底边重合，翻转后的三角尺左边经过图形的左上角，并沿着三角尺的左侧画一条直线，右侧方法相似，亦或量出中间长方形下面一条边的长度，在图形的上面截取同样长的一条边，学生借助操作，也能感知出分割的要点，而不是盲目分割。这样，就能有效地遏制画出的图形不规范的现象大量发生。

我想，只要我们把握一个度，就不会违背循序渐进的思想；运用一些方法，一样可以帮助学生解决这些有深度、有难度的问题。