巧用平面向量知识，优化数学解题方法

刁克

摘 要： 由于平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.同时也因为平面向量的这种独特身份，涉及的有关试题往往灵活多变，难以把握，方法也多种多样.如果能选择恰当的解法就可以起到化繁为简、化难为易的作用，给解题带来很大的方便.

关键词： 平面向量 坐标法 几何法

一

平面向量作为一种工具性知识引入到高中教材，给许多平面几何问题的求解带来了很大的方便，特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时，平面向量有其独到之处.但同时也因向量的表达形式和运算形式的灵活性，许多学生对于运用向量解题不太习惯，感到无从下手，往往是既花费大量时间又效果甚微.

【例题】（2012年苏州市统测）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=■，AD=1，BC=2，P是腰AB所在直线上的动点，则|3■+2■|的最小值为？摇？摇 ？摇？摇.

学生此题的得分率非常低，全班仅有几名同学拿到了满分.大部分同学不是无从下手，就是花了许多时间只解出一部分，不能得出最终的结果.其实解这道题目的方法有很多，整理一下发现它们涵盖了平面向量的很多解法，不失为平面向量的典型题目.现整理如下：

解法一：坐标法（代数法）

如图1，以B为坐标原点，BC为x轴，建立直角坐标系.

图1

由题意可设A（a，■a），P（t，■t），则B（0，0），C（2，0），D（a+1，■a），从而3■+2■=（8+2a-5t，2■a-5■t），所以|3■+2■|■=（8+2a-5t）■+（2■a-5■t）■=100t■-80（a+1）t+16a■+32a+64.

因为t∈R，所以|3■+2■|■■=■=48，|3■+2■|的最小值为4■.

分析：上述计算中涉及两个变量a、t，许多学生计算不过关，或者没有一定的自信，很难算出最终的结果.为了减少计算，针对这类填空题可从特例出发，以下两种特殊算法值得一试.

特例1：设AB=2，则上述方法中A（1，■），D（2，■），这样|3■+2■|■就只含有t一个变量，学生容易算出结果.

特例2：设梯形ABCD为直角梯形，∠C=∠D=90°，此时以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，建立直角坐标系.这种情况下即使高CD不固定，计算也简化不少.当然也可再固定CD=1，则更容易获解.

解法二：基向量法（几何法）

把■，■作为基向量做如下分解：3■+2■=3（■+■）+2（■+■），因为2■=■，所以3■+2■=（3■+2■）+4■.考虑到P是直线AB上的点，可设3■+2■=λ■（λ∈R），此时3■+2■=λ■+4■.下面对λ进行分类：

（1）当λ≥0时，设λ■=■，4■=■，则3■+2■=■，如图2：

由图2可知越大，BG的长度越大，|3■+2■|也越大，所以当λ=0时，|3■+2■|min=8.

图2

（2）當λ<0时，如图3可知当BG⊥FG，即G为图中G′时，|3■+2■|■=8×sin60°=4■.

结合（1）（2）可知|3■+2■|的最小值为4■.

图3

解法三：几何性质法（几何法）

结合平行四边形的性质：如图4，平行四边形ABCD和直线l，过四个顶点分别作四条平行线，交l于E、F、G、H四点，则有结论AE-DE=BF-CG.

图4

运用上述结论，设3■+2■=■，则点E为平行四边形PCEG的一个顶点，可看成沿BC方向离开直线AB共3×2+2×1=8个单位，进一步得到|3■+2■|■=8×sin60°=4■.

二

以上三种解法各有优缺，适合不同类型的向量题，就上题而言解法二、解法三明显优于解法一，选择解法二、解法三的同学不仅节约了很多计算的时间，正确率也相对要高很多，尤其是解法三更是既迅速又准确.所以平面向量的解法选择尤为重要，探索平面向量的解法也十分必要.一般来说可归纳如下.

（一）适合坐标法的情况.

1.题目中已有坐标

例1.（2009年江苏高考第15题）设向量■=（4cosα，sinα），■=（sinβ，4cosβ），■=（cosβ，-4sinβ），

（1）若■与■-2■垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|■+■|的最大值；

（3）若tanαtanβ=16，求证：■∥■.

分析：简单运用两向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式即可.

2.题目中所给图形或条件中有直角

例2.（2012年江苏高考第9题）如图5，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若■·■=■，则■·■的值是？摇 ？摇？摇？摇.

图5

分析：以AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，运用已知条件解出A、B、E、F四点的坐标，再运用数量积公式就可.

3.题目中所给图形具有对称性等特征适合建系

例3.在正△ABC中，D是边BC上的一点.若AB=3，BD=1，则■·■=？摇？摇 ？摇？摇.

分析：可以BC为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，非常容易求出A、B、D三点的坐标，再代入计算即可.

（二）适合几何法的情况.

1.基向量法

当题中所给条件涉及两个不共线的非零向量时，或知道它们的模，或知道它们的夹角等，就要考虑用基向量的方法了.

例4.若等边△ABC的边长为2■，平面内一点M满足■=■■+■■，则■·■=？摇？摇 ？摇？摇.

分析：由题目含义可把■，■作为基向量，■，■均用它们线性表示，再运用数量积有关知识解题即可.

例5.如图6，O，A，B是平面上的三个点，向量■=a，■=b，设P为线段AB垂直平分线上的任意一点，■=p，若|a|=4，|b|=2，则p·（a-b）=？摇？摇 ？摇？摇.

图6

分析：抓住PC⊥AB这一条件，先把p写成■+■，此时p·（a-b）=（■+■）·■=■·■，再把a，b作为基向量表示■，■代入计算就可以了.

2.几何性质法

从向量加减法的几何意义出发，三角形和平行四边形在平面向量中有特殊含义，巧妙用好这两个特征图形在解题中往往会收到意想不到的效果.

例6.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则a，b的夹角为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a-b|分别表示为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|a-b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.

例7.已知■，■是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量■满足（■-■）·（■-■）=0，则|■|的最大值是？摇 ？摇？摇？摇.

分析：可把■，■，■移至共起点的三个向量，起点为O，终点分别为A，B，C.由（■-■）·（■-■）=0，点C的轨迹是以AB为直径的圆，运用圆的有关知识解答该题就可以了.

另外针对平面向量的填空题，特例的方法也不容忽视.很多问题从特殊化方法入手进行探求，往往可以可以迅速准确地获得答案.

例8.过△ABC的重心作一直线分别交AB，AC于D，E，若■=x■，■=y■，（xy≠0），则■+■的值为？摇？摇 ？摇？摇.

分析：可把直线特例为平行于底边或者直接特例为中线都可以顺利解出该题.

例9.已知点O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若■■+■■=2m■，则m=？摇？摇 ？摇？摇（用θ表示）.

分析：取特殊三角形来处理，△ABC特例为正三角形，求出m=■=sinθ.

三

以上是优化平面向量解题常用的几种方法，在解决平面向量问题时，减少运算量、加快解题速度的方法还有不少，只要在平时的练习中多实践、多总结，就能做到以简驭繁、事半功倍.在数学解题教学中，要注意发展学生个性心理，提高学生数学素养，培养学生灵活运用知识，勇于面对复杂问题或较难的问题.这就要求教师在平时的教学过程中做到以下几点.

（一）教会学生审题，培养学生思考的习惯.

审题是发现解法的前提，其重要性可用一句话概括：“问题想得透彻，意味着问题解决了一半.”教师要教会学生怎样审题，培养学生良好的思考习惯，就应从学生审题这一环节开始抓起，引导学生多角度观察，找联系，由表及里抓本质.

（二）一题多解或一法多用，开拓学生思维广度.

思路开阔，能全面地分析問题，多方面地思考问题，多角度地研究问题，关于对数学问题的特征、差异和隐含关系等进行具体分析，作出广泛联想.因而在解题教学中多采用一题多解或一法多用，可以有的放矢地引导学生不拘泥于教材中的已有结论和方法，用新颖的数学方法研究解决新问题.

（三）和学生一起改造题目，拓展学生思维深度.

在解题教学中要注重学生数学思维的智力品质的培养，对于数学问题的思考，能够抓住问题的本质和规律深入细致地加以分析和解决，而不被一些表面现象所迷惑.善于引申问题，把思维向纵深发展，使思维达到突破常规的灵活变通的特征.

（四）在解题教学中强化数学思想，发展学生的数学观念系统.

数学解题就是要在条件和结论之间给出一个数学原理的序列，数学原理序列既包括数学知识的联结，又包括数学方法的推进，而知识和方法是一个统一体，两者都反映了一定的数学思想.

解题以后善于从数学思想上进行提炼和反思，这时强化数学思想，对经验升华和理性化都有益.

总之，评价一堂数学习题课是否成功，要看学生是否能积极参与教学过程，思维是否得到了发展，这完全取决于教师的主导作用.教师只有把学生当成学习的主人，在教学设计和组织中为学生留下思维的时间和空间，给学生创造显示才华的机会，才能真正达到解题教学的目的.