如何铺设情境实现对数学归纳法的高效教学

时华

【摘要】文章对数学归纳法一课怎样创设情境进行分析、举例、说明，层层递进，培养学生在情境中产生数学问题，在情境中发现数学问题，让学生在理解内容的基础上通过联想与识别达到教学效果.

【关键词】归纳法；数学归纳法；情境

数学归纳法是高中数学中的一个重要知识点，也是一种重要的数学证明方法.这一课的难点是正确理解数学归纳法中的递推思想，认识到从“无限”到“有限”，从“量变”到“质变” 的过程.因此在新课的处理上教师可以巧设一些情境，有助于学生更好地理解和掌握并且实现难点的突破.下面笔者将创设的情境一一举例说明.

一、创设故事情境，引入财主儿子学写字的故事

从前有个财主，想叫儿子识字，请来一位教书先生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，学生归纳出是个“三”字.学到这里，儿子认为“万”这个字好麻烦要写一万横.类似的情境还有很多，例如：

（1）脑筋急转弯：小明的爸爸有三个孩子，老大叫大毛，老二叫二毛，请问：老三叫什么呢？

（2）谚语：天下乌鸦一般黑.

其实，数学中有许多像这样通过观察、归纳、猜想得出的结论，然后可将情境导入数学，提出问题.

二、创设回想情境，回想等差数列通项公式的归纳猜想过程

请大家回想，“以前有像财主儿子那样通过归纳猜想获得过某些数学结论吗？请举例.”学生举例：

故事导入后，再由生活联系数学，达到了温故知新的目的，也可激发学生的学习兴趣，从而对本节课的教学内容产生强烈的求知欲.

三、创设生活情境，引入“买票难”这一社会热点问题

春运期间，买票难也一直都是一个热点问题，排了很长的队伍却不知道自己能不能买到票.一次，小华跑到前面问了问售票员：“我能买到去哈尔滨的票吗？”售票员回答说：“票是充足的，已有人买到票.”然后她还说了一句话，小华立即高兴地去排队了，请问：售票员回答时又说了一句什么话呢？

告诉学生，售票员说：“如果前一个人能买到票，那么紧跟其后的一个人一定能买到票.”这个实例的选取可以引导学生将所有排队的人能买到票的条件归纳总结如下：（1）第一个人能买到票；（2）售票员作出的“只要前面某人买到，紧跟其后的一个人就一定能买到”的承诺能兑现.并且引入这样的社会热点问题，易激活学生学习的兴奋点，同时有助于学生“由表及里”逐步领悟数学归纳法的本质.

四、创设游戏情境，引入多米诺骨牌游戏

多媒体展示游戏过程并且提出这样的问题：假如骨牌有无限多块，这个演示我们永远不可能看完，但你能据此确定骨牌一块接一块全部都倒下吗？

通过前两个（财主儿子学写字和买车票）实例引导学生由归纳法到数学归纳法步骤的归纳，随后多米诺骨牌游戏的动态演示，利用了学生的生活经验，在学生思维的“最近发展区”生长新知，符合学生的认知规律.并且让学生在形象生动的画面中认识从“有限”到“无限”的递推过程，为教学难点突破提供直观形象的解释.从触及到感悟再到运用递推思想，学生对数学归纳法本质和步骤的认识层层递进.

此处的情境也可以选取：以识数为例，小孩子识数，先学会一个，两个，三个……这个时候，能够数到十了；又过些时候，会数到二十，三十……一百了.后来到某个时候，他领悟了“我什么数都会数了”.这一飞跃，竟从有限跃到了无穷.怎么会的呢？解释以上飞跃现象的原理，也正是数学归纳法.（1） 他知道从头数；（2） 他知道一个一个按照次序数，而且不愁数了一个以后，下一个不会数.于是，他就会数任何数了.情境创设后学生很容易能用类比的思想，类比到自然数n有关的命题.也就是：有一个与自然数n有关的数学命题， 能够证明当n=n0时命题正确，如果我们能够证明在n=k（k∈N，且k≥n0）时命题成立，当n=k+1时命题也成立，那么这一个命题就对从n0开始的所有的自然数n全部成立.

至此，大部分学生已能归纳概括数学归纳法的两个步骤，理解其实质.但仍有小部分学生对此理解模糊，表现在：（1）把重點放在第二步（归纳递推）上，而对第一步（归纳奠基）感到可有可无.（2）为什么可以先归纳假设呢？怎么可以作为条件来使用呢？怎样实现递推？此时可举出具体反面事例说明.

五、创设数学情境

（1）奇数是2的倍数.如果学生没有第一步归纳递推，直接假设“如果奇数k是2的倍数”却能够推出“那么下一个奇数k+2也是2的倍数”，很显然这是个错误的结论.

（2）n2+n+11是质数.这个命题对于n=1，2，3，4，5，6，7，8，9都成立，但是对于n=10却不成立，因为121是一个合数.所以第二步归纳假设要用到，要形成递推关系.

数学归纳法一课通过不断地创设情境，层层递进，引导学生从“有限”认识到“无限”，从“具体”认识到“抽象”的数学思维策略，充分理解其原理和实质.在某种意义上说，一个理想情境的创始能使课堂教学达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]华罗庚.数学归纳法[M].北京：科学出版社，2002.

[2]洪波. 怎样应用数学归纳法[M].上海：上海教育出版社，1979.