三角形内角和定理的应用

顾万军

三角形的内角和定理是：三角形的内角和等于180 °。应用这个定理可以解决许多数学问题。下面举例说明。

一、求角的度数

例1 （2012年广东省深圳市中考题）如图1所示，一个60 °角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）

A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°

分析 根据三角形内角和定理、平角定义可以求得∠1+∠2的度数。

解 如图2，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+60°=180°，

又根据平角定义，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，

所以180°-∠1+180°-∠2+60°=180°。

所以∠1+∠2=240°。故答案选C。

点评 本题考查了三角形内角和定理、平角定义、三角形外角性质。解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件：三角形内角和是180°。

二、判定三角形的形状

例2 （2012年山东省滨州市中考题）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

分析 已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型。

解 三角形的三个内角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形。故答案选D。

点评 本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×=105°>90°。

本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180°，解得x=15°，所以最大角为7×15°=105°。

三、用于解决实际问题

例3 （2012年宁夏回族自治区中考题）如图3，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB= 度。

分析 先求出∠CAB与∠ABC和的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答。

解 连接AB，因为C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，

所以∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°。

又因为三角形内角和是180°，

所以∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°。

故答案填70。

点评 本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB与∠ABC和的度数是解答此题的关键。

练习

1.（2012年浙江省嘉兴市中考题）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）

A.40° B.60° C.80° D.90°

2.（2012年内蒙古自治区呼和浩特市中考题）如图4，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 。

参考答案

1.解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°。故答案选A。

2.解：因为三角形ABC的外角∠DAC的角平分线和∠ACF的角平分线交于点E，所以∠EAC=∠DAE，∠ECA=∠ECF。

又因为∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），

所以∠DAC+∠ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠ACB）==113.5°（外角和定理），

所以∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°。