在初中数学教学中渗透数形结合思想

叶建平

摘 要： 数形结合在教学及生产生活实践中有着广泛的应用，通过这一重要的方法，诸多数学问题成功地得到了解决。数形结合是初中数学学习过程中一个重要的数学思想，作为培养学生数学能力的最重要的一个环节，它贯穿于教学的始终。

关键词： 数形结合 初中数学教学 培养能力

数形结合思想主要是指利用数与形之间的转化来解决各类实际问题[1]。一是借助几何图形的性质使得抽象的数式问题变得形象和直观，得到意想不到的解题思路和解题方法；二是把某些几何图形问题通过联想转化成为数式问题，得到较简便的解题方法。所以数形结合实际上是把直观而具体的图形与抽象而复杂的数式结合，使形象与抽象的两种思维结合，通过数形转化、图形认识培养学生形象、灵活的思维，把复杂的数学问题简单化、抽象问题形象化的过程。

一、由数式联想到图形，进行数形结合，通过图形解决数式的问题。

有机的数形结合，能够把化抽象的问题为具体，化复杂的问题为简单。

1.利用数轴来阐述绝对值、相反数这类有关概念，以及有理数的四则运算等[2]。数轴是一种重要的工具，借助数轴能够直观体现许多数学问题，也能够展示数形结合思想。因此在初中数学教学中我们应合理引入数轴帮助学生掌握相反意义概念，了解绝对值、相反数的内涵，全面掌握比较有理数大小方式，深刻理解有理数运算意义法则等，进而圆满完成教学任务。如图①：已知有理数a、b在数轴上表示的点如图，借助数轴很容易找出表示-a和-b的点，从而顺利地比较出a、b、-a、-b之间的大小关系。

图①

2.通过几何图形推导出平方差，平方和，以及完全平方公式，表示出整式的乘法和因式分解等。

3.巧借函数的图像求解函数题目的最值问题。如点P点在x轴上，点A（-2，3），B（3，1）在x轴的同一侧，①求PA+PB的最小值；②求PA-PB的最大值。如图②，先找到B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则PA+PB最小，利用一次函数的性质求出P点的坐标，而AB′的长度则是PA+PB的最小值；如图③，根据三角形的两边之差小于第三边，连接AB交x轴于点P，则PA-PB最小，利用一次函数的性质求出P点的坐标，而AB的长度则是PA+PB的最小值。此外还可以探究当点A、B在x轴的两侧的情况。

图② 图③

二、由图形联想到数式数形结合，用数式来解决图形的问题。

此类问题的解决关键就是利用数式的精确性来表明图形的一些属性；把图形的信息转化成代数的信息，通过数量特征将图形问题进而转化为代数问题来解决。这在初中数学中运用较多，如：

1.用数量来表示角度大小和线段长短，并进行相应大小长短的比较。

2.用有序实数对表示在平面直角坐标系内的点的位置。

3.用数式来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系[3]。

三、巧用数形结合，培养合情推理。

1.通过直观的几何图形求解代数问题能够激发学生思维、诱发直觉判断，从而引导学生产生联想，进行大胆的假设推理，从而形成合情推理，进而培养出合情推理的习惯。

如华东师大版义务教育教科书《数学》七年级上册第80页第25题，我们从图④中可看出第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈……（以此类推）。①第一层的圆圈个数为1=1 ；②前两层的圆圈个数总和为1+3=4=2 ；③前三层的圆圈个数总和为1+3+5=9=3 ；④前四层的圆圈个数总和为1+3+5+7=16=4 ……（以此类推）由此可归纳出前n层圆圈个数和为1+3+5+（2n-1）=n.数形结合，直观明了。

图④

2.借助几何图形解决复杂的代数问题。在一些情况中，许多表面上看起来复杂错综的应用题，其实我们只需要把其中所涵盖的各项条件逐一拆分开来，通过数形结合思想把它们对应的示意图画出，就能立即使复杂的应用题变得浅显易懂。如利用勾股定理求取代数式的最值问题：请构图求出代数式 的最小值。如图⑤，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，当点C满足在AE上时，AC+CE的值最小。若设CD=x，CB=12-x，AB=3，DE=2，则AE就是所求的代数式 的最小值。

图⑤

四、在运用数形结合思想解决数学问题时应注意的问题。

由于综合运用题并不是单纯的由数式联想图形或者由图形形联想数式的问题，因此利用数形结合解有关的问题时要注意以下几个问题。

1.数与形进行转化要求前后一致；

2.用数的精确性准确的来表示图形的一类特征；

3.把数转化成形时要注意考虑图形的涉及各种情形。因为有些数学问题相对的图形如果不具有唯一性，就要求根据特定的情况作出相对应的图形，才能讨论进而求解。

总之，我们应当在教学实践中科学地渗透数形结合思想，提高学生综合分析和解决问题的能力，把数形结合思想作为初中数学教学所必需的基础工具，利用几何图形、数轴、坐标系等，结合相关教材习题内容引导学生，并使他们在实践中养成反思的习惯，提高数学素养，全面提升教学水平。

参考文献：

[1]黄家超. 初中数学教学中如何渗透数学思想方法[J]. 教育教学论坛， 2011， 30： 035.

[2]杨华江. 活跃的 “数轴”[J]. 数理天地（初中版）， 2007， 6： 014.

[3]李明， 张锐. 构造几何图形解决代数问题[J]. 数学教学研究， 2012， 31（2）： 67-67.