数学建模思想在数学教学中的应用

黄庆流

摘 要：课程标准相关内容的要求突出强调数学应用意识的培养和数学模型思想的渗透。中学数学教学中适当渗透建模思想、开展数学建模的活动，可提高学生的数学应用意识，提高学生的创新能力，同时也是推进素质教育的一个突破口。在对数学模型、数学建模和数学建模思想研究的基础上，开展对中学的方程、不等式、函数、统计、三角形等教学内容进行数学建模教学进行了一些探讨。

关键词：中学数学教学；数学建模思想；应用

随着新课程改革，教材编写背景结合了生活实际和社会实践，突出了理论与知识结合，理论与实践结合，强调学生对数学知识的应用，呼唤数学应用意识。课程标准指出：“在教学中，应注重让学生在现实背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。”在教学中，渗透和应用建模思想是每位数学教师的责任。

一、数学建模思想的概念及其意义

所谓数学模型就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表达所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函數、不等式及各种图表、图形等都是数学模型。在初中数学教学中数学建模是数学学习的有效方式，它不仅能够为学生提供自主的学习空间，还能够增强学生运用数学知识的意识，从而有利于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

二、中学数学教学中数学建模思想的应用举例

数学建模思想可应用于中学数学教学哪些地方呢？根据课标要求和现行教材内容，主要有：不等式的应用、函数的应用、三角函数的应用、几何的应用等。结合时代发展的特点，教材和习题中涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制）、动态规划（生产计划问题等）、网络规划（绘制、计算、优化）、股票、彩票发行模型，风险决策、市场预测、存贮原理、供求模型、广告与税款等等，还有跨学科的生态平衡、环境保护、人口生命等方面的问题等等。现举一些例子，进行简单介绍。

1.为了解决实际生产生活的“等量或不等关系”问题，建立或化归为方程或不等式模型

现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解。例如字母符号是基本的数学语言，在应用问题中用x表示实际问题中的未知量，通过分析问题中已知量与未知量的相等或大小关系，“翻译”成表示未知数x和已知数之间相等或大小关系的方程或不等式，即得到刻画实际问题的相等或大小关系的数学模型。例如，某市民政局将其全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷200件，食品120件。现计划租用甲、乙两种货车共八辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区。已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件。则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮忙设计出来。我们可以用建模的思想方法，建立或化归为不等式模型，设安排甲种货车x辆，则乙种货车为（8-x）辆，根据题意得40x+20（8-x）≥200，10x+20（8-x）≥120，解得2≤x≤4，而x为整数所以x只能取2、3、4，相应的（8-x）的值为6、5、4。因而安排甲、乙两种货车方案有三种：第一种方案：甲种货车2辆、乙种货车6辆；第二种生产方案：甲种货车3辆、乙种货车5辆；第三种生产方案：甲种货车4辆、乙种货车4辆。可见，解题时只要先弄清问题中的已知量与未知量之间的数量关系，然后建立或转化为方程或不等式模型，从而便能灵活简便地解答问题。

2.为了解决实际生产生活的“动态变化”问题，建立或化归为函数模型

函数是研究运动变化的重要数学模型。生活中普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本、设计最佳等，常常归结为函数的最值问题（盈利最大、用料最省），通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。下面以一道经济效益最大化的问题进行简单介绍。例如：某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱，为了赚得最大利润，售价应定为多少？最大利润为多少？在教学中引导分析：①利润的含义；②在研究利润问题时，常用的一个关系式：利润=每件商品所获利润×销售件数，数学建模，问题求解：设售价为x元，总利润为w则每箱的利润为（x-40）元，平均每天销售（-3x+240）箱，根据题意，有：w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200。因为a=-3<0，所以此函数图像开口向下，W有最大值。所以当x=60时，利润最大为1200元。这里就是把最大利润问题通过数学建模转化成二次函数的最大值问题，再回到实际问题中去使问题得以解决。

3.为了解决实际生产生活的“信息处理”问题，建立或化归为统计模型

统计在我们生活中是经常被用到的，我们进行的人口普查、每年进行的劳动报酬统计；每年的GPI、GDP统计等，都有有关数据收集和分析。这些都可建立或化归为统计型模型，从而使学生养成乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，用数学的思维思考生活中的实际问题的习惯。例如：我国50年来全国运输线路长度统计表；海尔公司近十年来的销售总额；某校初三年级男生的身高统计等等，这些都是运用统计模型，随后，再将这些数据直观形象地展现在频率直方图或频数直方图上，这样学生可以非常清楚地看到，这些数据的变动情况，使学生发现统计模型应用的简便性和直观性，使学生产生对数学学习的兴趣，优化数学课堂氛围，提高学生的应用意识。

4.为了解决实际生产生活的“数形统一”问题，建立或化归为几何模型

现实世界中涉及一定图形属性的应用问题，如航行、建筑、测量、人造卫星运行轨道等，常需建立相应的几何模型，应用几何知识转化为用方程或不等式，或三角形知识求解。例如：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行，货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗？为什么？此题进行数学建模，化归到两个直角三角形中去求解，再回到实际问题中去使问题得以解决。

三、数学建模思想的实施需要注意的事项

数学建模思想现已被应用于数学的各个方面，但是每个事物都是有利与弊两个方面的。在运用数学建模思想时，为了保证学生能够正确地运用数学建模思想，教师要让学生注意每个模型中需要注意的一些问题。如，在函数模型当中，学生需要注意的是要建立正确的函数关系，这是解决问题的关键，准确找到未知量和已知量，找到正确的等量关系，使学生能够准确地建立函数关系式。在统计模型中，由于数据较多，最需要学生注意的就是细心，不要遗落等等。这些都是在实施建模思想过程中需要注意的事项。只有当学生能够正确地建立数学模型时，学生才能真正地将数学知识运用到实际生活当中，才能在正确的解答过程中体会到成功。

综上所述，中学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。通过建模教学，可加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次。因此，在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准解读.北京师范大学出版社，2011.

[2]瞿启珍.浅析数学建模在初中数学教学中的应用[J].读写算教育理论，2012（3）.

（作者单位 广东省河源市紫金县尔崧中学）