最值问题解法初探

胡红娣

摘 要： 最值是中学数学中的一个重要知识点，教材中没有系统地介绍极值的求法.本文从七个方面探讨了求初等函数最值的常用方法.

关键词： 初等函数 最值问题 求解方法

中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中有广泛的应用.中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础.最值问题历来是各类考试的热点，但教材中只是零散地介绍了几种求最值的方法.本文旨在归纳与总结，并系统地介绍几种求最值的方法.

1.配方法

对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此法，中学大部分求极值的问题都是用此法求解的.

2.换元法

此类最值问题，往往是已知两个或两个以上变量的一个关系，求这些变量的另一个关系的最值.用函数极值法处理这一类最值时，需利用已知条件，将几个变量通过换元化为一个变量的关系，再求其最值，但换元过程中必须注意对元的取值范围的确定.

3.不等式法

不等式法是一种根据题设，利用基本不等式或不等式的性质进行求解的方法.

4.判别式法

所给函数式如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则用判别式法求函数的最值是行之有效的.

5.导数法

各种类型的函数求最值的问题都可以用导数作为有力的工具来解决.

5.1函数单调性判定定理

若对？坌x∈（a，b），f′（x）>0或f′（x）<0恒成立，则f（x）在（a，b）内单调递增（或单调递减）.

5.2极值点概念

若对定义在[a，b]上的可导函数f（x），对任意c∈[a，b]，使f′（c）=0的点叫做f（x）的极值点.

5.3求函数最值的步骤

5.3.1求函数f（x）的导数.

5.3.2令f′（x）=0，解出极值点x■，x■…x■.

5.3.3求f′（x）的导数f″（x）.当f″（x）<0时取极大值，f″（x）>0时取极小值.

5.3.4计算函数各局部极值和定义域两端点的值，进行比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值.

6.函数单调性法

利用函数的单调性质，是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调性.

7.向量法

本文系统地探讨了极值的七种求法.在实际解题中使用哪种方法，要根据具体的题目进行选择，灵活地运用.

参考文献：

[1]陈慧珍.关于一元函数的极值问题[M].武汉：武汉交通管理干部学报，1994（3，4）.

[2]赵平中，刘海军，王文.高中物理中求极值问题的数学技巧[M].保定：保定师范专科学校学报，2002（10）：15.

[3]薛金星.怎样解题[M].北京教育出版社.