应用型本科院校线性代数教学改革的几点构想

凌和良，万冰蓉

（南昌工程学院 理学系，江西 南昌 330099）

《线性代数》是应用型本科非数学专业的一门重要基础理论课，也是研究生考试的一个重要组成部分，长期以来它已形成了一个比较科学的课程体系和比较稳定的内容体系，但随着时代的发展、科技的进步，它已不能很好地适应现代社会的要求.这就要求我们在教学过程中寻求一种新的模式，在教学方面有必要进行改革尝试.根据多年来学生学习线性代数普遍反应出来的：线性代数内容抽象、枯燥难学这一问题，我们在线性代数的教学过程中进行了几点教学改革尝试，收到了预期的效果.

1 把线性代数的概念与实际背景、几何直观相结合

学生学习线性代数过程中往往感觉抽象，主要是集中在其概念的抽象上.有些概念往往会让初学者感到莫名其妙.如一般线性代数教材中线性代数的第一个概念行列式，学生就不知为什么要那样定义？其实质又是什么？矩阵的乘法运算又为什么是那样的计算方法？更不用说对线性空间的定义了.一般教材都是从抽象到抽象的定义，这样教学对大多数应用型本科院校学生是较抽象的.上课过程中学生似乎听懂，但拿起题来却不会做，更不用说解决实际问题了，长此下去学生最终会感到学习枯燥无味，丧失学习兴趣.

其实，线性代数有很强的实际背景，它与空间解析几何有密不可分的关系，线性代数中的许多问题可视为空间解析几何问题在n维空间的推广.线性代数中的许多概念，如行列式、向量的线性相关性、矩阵的秩等都有很强的实际背景和几何直观.以行列式的定义为例，一般来讲，教材上行列式的定义有三种定义方法：公理化定义、递归法定义和表达式法定义.但无论哪一种定义方法，初学者都会感到抽象难懂.其实，行列式的几何背景很直观，不过是空间平行多面体的“体积”而已.

如二维空间中用几何的方法求两个向量的和要构造一个平行四边形,这个平行四边形的面积正好是以其两个生成向量为列构成的二阶行列式的值.同样可以用中学立体几何的方法求出由如下三个向量α1=(2,0,2)T,α2=(3,3,1)T,α3=(-1,0,1)T所生成的三维空间中的平行六面体的体积为12.再构造以这三个生成向量为列的三阶行列式:

它的值正好是12.推广到一般，n阶行列式可以看作它的各列向量生成的n维多面体的体积,这是一个很直观的背景.不仅如此,行列式的性质都可以在平面上通过图形来直观表示.例如用一个数k去乘行列式的一列等于用k去乘行列式这一代数性质,从几何上看,就是表示原平行四边形的某条边延长为原来的k倍,从而该平行四边形的面积也为原面积的k倍；行列式等于零即面积为零,就是这个平行四边形退化到一条线上了,也就是构成平行四边形的两条边的向量线性相关.如果进一步分析生成向量的旋转方向与代数面积的正负之间的关系,则可以解释交换行列式的行与列对行列式的值的影响等等.通过这样处理教学内容,学生对行列式的定义及性质就会有一个更直观且明晰的认识，不再感到抽象了.

2 把线性代数内容教学与实际问题相结合，渗透数学建模的思想

数学素质是科技人才科学素质的重要组成部分.高科技本质上是一种数学技术.任何高新技术的进步或突破都往往与数学在某一方面的成就紧密相关,没有良好的数学素养已无法进行科学技术的创新.数学建模是把数学应用于实际的有效途径,我们培养的各类专业科技人才,应该具有将他所涉及的专业实际问题建立数学模型的能力,这样才能在实际工作中发挥更大的创造性.现在,数学建模还没有成为各工科院校的一门必修课,虽然有每年一次的“大学生数学建模竞赛”,但参加者毕竟是学生的一小部分,很多学生对“建模”望而生畏,充满了神秘感,认为进行数学建模必须具有高深的数学知识,甚至有的学生不知何为建模.我们提供一些“建模”的素材,穿插在教材之中,使学生在理解数学概念的同时,培养其“建模”和应用数学的意识.例如在讲解线性方程组的过程中，我们可以插入关于线性回归的数学建模的案例教学:

例：根据经验，运输企业的业务收入同广告费支付、营业网点数之间具有相关关系.某运输企业1994年至2003年的业务收入和广告费支出、营业网点数的资料如下表所示：

企业业务收入、广告费支出、营业网点数表

问：如果2004年该企业的广告费支出为35万元，营业网点数为34个，预测企业2004年的商品销售额.

（1）建立线性方程.从表中可以看出，商品销售额与广告费支出、营业网点数两个因素均存在相关关系.所以拟合得到二元线性回归方程：

式中参数a、b1、b2用统计当中的最小二乘法推算，即

有关数据的计算结果如下表所示：

将相关数据代入上述方程组，得到

解方程组，得到

数据计算结果表

所以，二元线性回归方程为y赞=6.9285+0.35x1+0.965x2，将x1=35，x2=34代入方程，可以预测出2004年商品销售额为51.9885百万元.

3 把线性代数中的某些内容与数学软件相结合，培养学生解决实际问题的能力

线性代数中最耗时间和精力的是繁杂的高阶行列式的计算、高阶矩阵的运算、解线性方程组.我们在教学过程中借助现代技术和数学软件Matlab给学生提供简单易掌握的应用程序，这样既节约了学生大量的计算时间，又为学生将来的工作和学习打下了更好的基础.

4 结束语

以上几个方面，是我们进行线性代数课程教学改革的基本思想，在确保原有课程体系和内容的基础上，融入上述内容，在教学的过程中不仅有抽象的理性训练，而且还加强学生运用线性代数知识解决实际问题能力的培养，激发学生的学习兴趣，对整体提高线性代数教学质量会起到很好的作用.

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〔2〕李炜.浅谈工科线性代数教学[J].杭州电子科技大学学报（社会科学版），2006，2（1）：50-52.

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