模拟退火算法解决0-1背包问题的研究与实现

晏 杰（武夷学院，福建 武夷山 354300）

1 0-1背包问题描述

在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2，W3……Wn，与之相对应的价值为P1,P2,P3……Pn.求出获得最大价值的解决方案.需要说明的是所有的体积值均为整数,也就是说,每件物品只有取或者不取两种可能,不可以分解物品.0-1背包问题可以形式化地描述为：

其中：式(1)为目标函数，式(2)和(3)为约束条件，X为一个n维的向量，ci表示第i个物品的价值，wi表示第i个物品的重量，n为物品的数量.如果第i个物品放入背包中，则xi=1，否则xi=0.问题的目标就是要在背包尽量装满但又不超过其容量的情况下，使所装入背包中的物体价值最大.

2 模拟退火算法

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小.根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数.用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程.退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S.

2.1 退火算法思想

(1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L.

(2)对 k=1，……，L做第(3)至第 6步：

(3)产生新解S'

(4)计算增量Δt'=C(S')-C(S)，其中C(S)为评价函数

(5)若Δt'<0则接受S'作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt'/T)接受S'作为新的当前解.

(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序.

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法.

(7)T逐渐减少，且T->0，然后转第2步.

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响.

第二步是计算与新解所对应的目标函数差.因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算.事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法.

第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则:若Δt'<0则接受S'作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt'/T)接受S'作为新的当前解S.

第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可.此时，当前解实现了一次迭代.可在此基础上开始下一轮试验.而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验.

2.2 退火算法解决0-1背包关键代码

模拟退火算法解决0-1背包问题的代码较长,这里给出关键的代码如下:

2.3 结果分析

在此假设链长系数为3，截止温度为0.001，退温系数为0.80，温度初值为200，则运行结果为0000110011，重量为7.63，价值为29.98，时间为5毫秒，如下图所示：

3 参数研究

模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

4.1 温度T的初始值设置问题.

温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响.实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整.

4.2 退火速度问题.

模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关.一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间.实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件.

4.3 温度管理问题.

温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一.实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：T(t+1)＝k×T(t),式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数.

〔1〕宋海生，傅仁毅.求解多背包问题的混合遗传算法[J].计算机工程与应用，2009（20）.

〔2〕喻学才，张田文.多维背包问题的一个蚁群优化算法[J].计算机学报，2008（05）.

〔3〕龚文引，蔡之华.一种新的求解0-1背包问题的自适应算法[J].微型机与应用，2005（12）.

〔4〕毅朝.求解多选择背包问题的改进差分演化算法[J].小型微型计算机系统，2007（09）.