关于泛函分析教学的几点建议

杨静宇，金美兰

（1.赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000；2.养正高级中学，吉林 长春 130052）

泛函分析起源于变分法、偏微分方程边值问题等，概况了经典的数学分析等函数论课程中的重要概念、问题与成果，综合了分析、代数和几何等学科而形成，因此它与拓扑学及抽象代数共同构成现代数学的“三基”.基于泛函分析在现代数学中的重要性，它已经成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要专业基础课，这门课程主要讲述无限维抽象空间和这类空间上的映射的性质.泛函分析这门课程内容抽象、理论深刻、论述精密，所涉及的内容、技巧和方法对数学专业与非数学专业的学生来说都很重要，应用十分广泛.因此这门课程已成为数学工作者从事教学与科研必不可少的知识基础.然而，一方面由于泛函分析本身难度较大，另一方面随着就业形势的变化多数高校转变办学理念以适应社会需求，使得这门专业课程在诸多数学专业课程中被边缘化，成为数学专业高年级的专业限选课，课时也随之压缩至54.在严峻的就业新形势下，如何改革泛函分析的教学，使之在专业教学及就业中发挥其积极重要作用，是一个重要课题[1-4].下面结合本院数学专业教学实际，提出泛函分析教学改革的几点建议.

1 明确专业培养目标，优化教学内容

在招生与就业以及学校由师范院校转型到综合型大学的新形势下，我院数学与应用数学、概率与统计两个专业的学生培养目标大体分位三类：教育类，培养能够胜任中小学数学教学的教学人员及其他教育工作者；应用类，培养胜任统计、精算工作的应用型人才；考研类，培养继续攻读更高层次的学位，从是科研工作的科研型人才.学生是教学的主体，我们应该根据不同类型学生的需要对教学内容进行优化.为此，在实际教学过程中将泛函分析分为三个模块：基础模块；应用模块；提高模块.

基础模块，泛函分析中最基本的内容，主要讲述三个空间（度量空间、赋范线性空间、内积空间），四个定理（泛函延拓定理、开映射定理、闭图像定理、逆算子定理）及赋范线性空间上有界线性算子（泛函）的相关性质.这部分内容对数学专业的所有学生来说都是必需的.通过这些内容的学习使学生掌握泛函分析的重要思想，进而满足后续课程对泛函分析知识的需求.

应用模块，由于这部分与实际问题联系密切，其内容可由任课教师与相关专业教师咨询而定.这部分适合应用类及考研类.通过这部分内容的学习使学生具有初步应用泛函分析知识分析问题解决问题的能力.

提高模块，针对考研类同学设定.该部分内容应该更深入，可以适当的选取经典外文书籍中的内容进行讲解，甚至可以考虑双语教学，以此为学生进一步深造打下坚实基础.

2 改革教学方法

泛函分析这门课程内容抽象，理论性强，欲达到良好的教学效果必须采取恰当的教学方法，照本宣科只会影响泛函分析的教学效果和质量.结合自身实际，我认为应做的一下几方面.

2.1 注重整体的把握

在讲授泛函分析课程时，应该指导学生把握泛函分析的全局，对泛函分析课程有整体的把握，让学生知道泛函分析这门课程主要要干什么.有如大海里航行，要了解基本航行.

2.2 注重与熟悉知识的联系与区别

泛函分析虽然主要介绍抽象的无穷维空间及其上的映射性质，但它与古典分析有着极为深刻的联系，所以在讲授泛函分析时可以尝试着与有限维空间的数学理论对照着讲，正所谓“无穷来自有穷”.很多泛函分析中的定义、理论都是有穷维空间中的定义、理论在无穷维的推广.例如泛函分析中的抽象向量的范数就是我们说的平面（空间）中向量长度概念的推广.众所周知向量长度满足下面三个基本性质：（1）对每一个向量x，都有一个实数||x||与之对应，||x||≥0并且||x||=0当且仅当x=0,||x||成为向量x的长度.（2）对任意实数α及任意的向量x都有||αx||=|α|||x||.（3）对任意的向量x,y都有||x+y||≤||x||+||y||.我们把这三条基本性质抽出来，把定义在无穷维抽象空间上满足上述三个条件的实值函数||||成为是范数函数，而||x||成为x的范数.这样定义的范数扩展了向量长度的定义，普通向量的长度只是它的一种特殊形式，有很多表面看起来不是长度的东西可以理解为长度，比如一定情况下，势能可以理解为位移函数的长度.类似的有限维空间上的函数推广到无限维空间就是泛函分析中的泛函与算子，平面几何中的平行四边形公式||x+y||2+||x-y||2=2(||x||2+||y||2)是泛函分析中判别赋范线性空间成为内积空间的充要条件.但这里要注意不是所有有限维空间的结果都可以如上的平行推到泛函分析中.例如在数学分析中有“有界无穷序列一定有收敛的子列”，但在无穷维空间有界集不具有这样的性质，这时在无穷维空间引入了“列紧集：集合中的任何点列都有收敛的子列”且有“赋范线性空间X中的有界集是列紧集的充要条件是是有限维空间”.通过这样的讲解方式，不但可以消除学生对抽象的泛函分析的畏惧感，同时可以加深学生对泛函分析中的概念、结论的理解与掌握.

2.3 实时的引入反例

2.4 精选作业题

要结合课堂教学的内容，挑选合适的作业题，让不同类型的学生完成，旨在巩固所学的知识.

3 改进教学方式及教学手段

传统的教学方式都是老师讲，学生记.这种传统的教学方式完全忽视了学生的学习主动性，不利于学生自学能力的培养，同时也不利于学生发展的需要.我们在教学的过程中应该让学生积极地参与其中，而不仅仅是被动的接受.因此我们可以结合教学内容，设定一些恰当的问题，引导学生对将要学习的内容进行预习，也可以考虑将一些简单的内容布置给学生，让其准备在下次课给同学讲解.通过这些教学方式，一方面可以培养学生的自学能力，在预习或备课的过程中发现不懂得问题，带进课堂及时解决，提高学习效率.另一方面可以使学生参与到教学中来，成为积极地参与者，提高学生的学习积极性.

泛函分析这门课程我们通常采取板书这样的教学手段.通过老师书写板书与讲解可以集中学生的注意力，带动学生思考，加深学生对知识的理解与掌握，同时可以培养学生严谨的治学态度.这种教学手段是讲授数学专业基础理论课不可替代的.但目前一方面学时压缩，另一方面考虑到对抽象的概念、理论直观形象化，完全的板书授课可能不能很好的达到预期教学效果，这时我们要借助多媒体这种新兴的教学手段.一些定义、定理的内容以及一些直观的模型我们可以制作成课件在课堂上演示，这样省去了书写的时间，但定理的证明过程还是要采取板书的形式带领学生逐步推导.完全的多媒体教学在数学理论课的教学中是行不通的.板书与多媒体这对传统与现代教学手段的恰当结合，有利于达到良好的教学效果.

总之在招生就业的新形势下，《泛函分析》这门课程的教学要顺应形势，不断地优化教学内容，改革教学方法，提高教学质量，为培养“应用型、创新型、复合型”人才打下坚实的理论基础.

〔1〕荣嵘.《实变函数与泛函分析》课程改革初探[J].科技风.

〔2〕蓝师义.对泛函分析教学改革的思考与建议[J].广西民族大学学报（自然科学版），2009（1）：94-96.

〔3〕陈白隶，温淑萍，向雪萍.泛函分析教学的几点建议[J].新疆师范大学学报（自然科学版），2006（4）：92-98.

〔4〕程其襄，等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔5〕胡适耕，等.泛函分析[M].北京：高等教育出版社—施普林格出版社，2001.

〔6〕J.B.Conway,A Course in Functional Analysis(Second Edition),Springer-Verlag,2003.