武女则
(天津外国语大学 基础课教学部, 天津 300204)
从19世纪初开始, Liouville,Riemann等著名数学家开始系统地研究分数阶微积分理论.到目前为止,分数阶微积分的理论被广泛地应用到光学、信号处理和系统识别、图像处理、机器人、医学等自然科学的众多领域[2-5].
本文中用到的函数:
(1)[x]表示x的取整,即不大于x的最大整数.
Γ(z+1)=zΓ(z);
定义1[6]设α∈R+如果f(x)∈L1(R+)那么
称为f(x)的α阶Riemann-Liouville分数阶积分.
定义2[6]设α∈R+,且满足n-1≤α 称为f(x)的α阶Riemann-Liouville分数阶导数. 注: (1)当n-1≤α (1) (2)Dnf(x)=f(n)(x),n∈N. (2) (3)当n-1≤α Dn-1Dα-n+1f(x) (3) (4)当0<α<1时, (4) 由(3)可知,研究α∈R+时,Dαf(x)的性质,只需研究0<α<1时的情况. 性质1[7]设λ,μ∈R,0<α<1,如果f(x)∈C1(R),则有 (1)Dα[Iαf(x)]=f(x); (3)Dα[λf(x)+μg(x)]=λDαf(x)+μDαg(x). 性质2[8]设α∈R+,λ∈C,且满足0<α<1,则有Dαeλx=λαeλx. 性质3[8]设α∈R+,且满足0<α<1,sinx和cosx可表示为 其中:a2k+1=0,a2k=b2k+1=(-1)k,b2k=0(k∈Z),则 性质4设α∈R+且满足0<α<1,如果f(x)∈C1(R),则有 (1)Dα[f(λx)]=λαDαf(u)|u=λx; 性质5设α∈R+,且满足0<α<1,则有 证明(1)由性质2及性质3易得结论. 定理1设α∈R+,且满足0<α<1,如果f(x)∈C1(R)是奇函数(或偶函数),那么Dαf(x),Iαf(x)不再具有奇偶性. 证明由性质3,容易得到 于是如果f(x)是偶函数,则 Dαf(x)=Dαf(-x)=(-1)αDαf(u)|u=-x=eiπαDαf(u)|u=-x, 故而,Dαf(x),Idf(x)都是非奇非偶函数. 如果f(x)是奇函数,则 Dα[f(x)]=-Dα[f(-x)]=(-1)α+1Dα[f(u)]|u=-x=eiπ(α+1)Dα[f(u)]|u=-x, Iα[f(x)]=-Iα[f(-x)]=(-1)αIα[f(u)]|u=-x=eiπαIα[f(u)]|u=-x, 则Dαf(x)是非奇非偶函数. 定理2设α∈R+且满足0<α<1,如果f(x)∈C1(R)是以2l为周期的周期函数,则Dαf(x)也是以2l为周期的周期函数. 证明因为f(x)是以2l为周期的周期函数,则f(x)可表示为 故而,Dαf(x)也是以2l为周期的周期函数. [1]Lacroix S F .Traité du calcul différentiel et du calcul integral (Vol.3)[M]. 2nd ed. Paris: Courcier, 1819. [2]方桂娟,孙顺红,蒲继雄.分数阶双涡旋光束的实验研究[J]. 物理学报, 2012,61(6): 064210-1-064210-7. [3] 李岩,陈阳泉,安孝晟.分数阶迭代学习控制的收敛性分析[J]. 控制理论与应用, 2012,29(8):1 031-1 037. [4] 陈喆,彭钰林,王舒文,等.从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法与应用[J].电子学报,2012,40(11):2 282-2 289. [5] 黄果,许黎,蒲亦非.基于时间-空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型[J]. 系统工程与电子技术, 2012, 34(8):1 741-1 752. [6] Podlubny I. Fractional Differential Equations[M].New York: Academic Press, 1999. [7] Oldham K B, Spanier J. The Fractional Calculus[M]. New York: Academic Press, 1974. [8] Trencevski K ,Tomovski Z. On fractional derivatives of some functions of exponential type[J]. Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 2002, 13(1): 77-84.3分数阶导数、积分奇偶性及周期性